Найти объем тела (пересечение 3-х цилиндров)

[Yager]

там не $cos(x)dx$, a $cos(t)dt$

[CowboyHugges]

Yager, Вас просто просят пользоваться стандартными обозначениями $\rho$, $\phi$ ну и видимо Вам понадобиться $\psi$. Запишите тройной интеграл, так думаю будет проще

[vvvv]

Может Вам картинка поможет, хотя ewert считает, что это лишнее

[ewert]

Это всё лирика. Приведите точное выражение для интеграла, получающегося после перехода к полярным кординатам.

-- Сб май 30, 2009 22:31:32 --

vvvv в сообщении #218426 писал(а):

Может Вам картинка поможет,

Обалдеть что за картинка: если раньше и было что понятно, то теперь -- ни в жисть.

[Yager]

куда уж тройной то интеграл! рассматриваю $y=rcos(t), x=rsin(t) $. интеграл был от 0 до $\frac{\sqrt{2}}{2}r$, соответственно теперь от 0 до $\frac{\pi}{4}$

-- Сб май 30, 2009 23:09:28 --

интеграл тогда и получается $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{r^2-r^2sin^2t}$

-- Сб май 30, 2009 23:25:42 --

очень прошу написать верный интеграл, ибо я не понимаю ваще как его написать

[ИСН]

ewert, ну зачем Вы начали про полярные координаты? Бред же! Они хороши, когда есть какая-никакая чуть-чуть сферическая симметрия. А тут её нету ни хрена. Или скажу иначе: они хороши, когда где-то пи выносится за скобку. А тут - - -

[Утундрий]

Дай-кось и я помалюю по старой памяти:



Вот он, Неопознанный Трехцилиндроидный Обьект в триметрии

[vvvv]

Вот картинка для пересечения 2-х цилиндров
Для трех цилиндров, Утундрий, наверное, прав, сейчас проверим.

[Утундрий]

Ну, не знаю, не знаю... Прочитав сие

Yager в сообщении #218380 писал(а):

Оси трех цилиндров (каждый радиуса r) взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке. Найти объем тела ограниченного этими тремя цилиндрами.

я тупо пересек помянутые три цилиндра. Что получилось, то получилось, вот и кушайте его с маслом)

[ewert]

ИСН в сообщении #218457 писал(а):

ewert, ну зачем Вы начали про полярные координаты? Бред же! Они хороши, когда есть какая-никакая чуть-чуть сферическая симметрия.

Ну зачем же чуть что -- так сразу и сферическая. Вполне достаточно цилиндрической, а она в определённом смысле есть. Получается достаточно простенький интегральчик:

$$8\int_0^r\rho\,d\rho\int_{-\pi/4}^{\pi/4}d\varphi\cdot z,$$

где $z=\sqrt{r^2-x^2}=\sqrt{r^2-\rho^2\cos^2\varphi}.$ Интегрировать надо, конечно, сперва по $\rho,$ а уж потом по $\varphi.$

[Утундрий]

Но чтобы добраться до этого простенького интегральчика автору темы я бы посоветовал совершить еще некоторые манипуляции. Достаточно всего лишь получить зависимость площади сечений $z=const$ от $z$ и по $z$ ее проинтегрировать. Некое представление о возможных конфигурациях сечения (коих две) дает рисунок, но аналитически все получается еще проще. Нужно только обратиться к неравенствам, определяющим тело

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^2 + y^2 \leqslant 1} \\ {x^2 + z^2 \leqslant 1} \\ {y^2 + z^2 \leqslant 1} \\ \end{array} } \right.\]$$

(которые, к слову, никто здесь до сих пор явно и не выписал). Достаточно очевидно, что искомое сечение есть пересечение квадрата и круга. Интегрировать по $z$ можно от $0$ до $1$, в силу симметрии. Благодаря той же симметрии достаточно подсчитать одну возьмую площади сечения, в полярных координатах или декартовых - не суть важно. Фигура простенькая, можно вообще не интегрировать, а сразу ответ записать...

[ewert]

Утундрий в сообщении #218523 писал(а):

(которые, к слову, никто здесь до сих пор явно и не выписал).

Естественно, никто: там ведь справа не единички, а эры.

Манипуляции же с сечениями -- ни к чему, это просто запудривание мозгов (самому же себе). Тот вариант, который я выписал -- это просто попытка тупо-непосредственного решения задачи. Которую, кстати, и сам автор явно имел в виду, только в буковках запутался.

[Утундрий]

ewert, с моим запудриванием мозгов все интегралы получаются несколько проще. Тупо-непосредственно - хороший метод решения, я и сам его люблю и уважаю, но иногда все-таки нелишним бывает сдержать математический рефлекс и ненадолго включить голову.

Что же касается "эров", то не будете ли вы любезны припомнить как изменяются 3-объемы при гомотопии? Тягать $r$ из формулы в формулу шибко элегантнее чем найти объем для единицы и просто домножить результат на $\[r^3 \]$?

[ewert]

Утундрий в сообщении #218534 писал(а):

Что же касается "эров", то не будете ли вы любезны припомнить как изменяются 3-объемы при гомотопии?

Не буду любезен. Что, ужо и придраться нельзя?...

А насчёт Ваших горизонтальных сечений -- не могу согласиться, что выйдет проще. Ибо нехорошо они себя ведут: поначалу (сверху) это суть просто квадраты, а потом после определённого момента начинают постепенно скругляться (т.е., расширяясь, ещё и пересекаться с фиксированным кругом). Поди за всем этим уследи; можно, конечно, но -- морока.

[AKM]

Утундрий в сообщении #218534 писал(а):

...не будете ли вы любезны припомнить как изменяются 3-объемы при гомотопии?

А я в Википедию за гомотопией слазил. Они там из тора --- кружку с ручкой сделали! Как изменился объём --- непонятно. Но кружка явно на 250 мл.
Может, гомотетией ограничимся?