2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение30.05.2009, 21:22 
там не $cos(x)dx$, a $cos(t)dt$

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение30.05.2009, 21:27 
Yager, Вас просто просят пользоваться стандартными обозначениями $\rho$, $\phi$ ну и видимо Вам понадобиться $\psi$. Запишите тройной интеграл, так думаю будет проще

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение30.05.2009, 21:29 
Может Вам картинка поможет, хотя ewert считает, что это лишнее :)
Изображение

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение30.05.2009, 21:29 
Это всё лирика. Приведите точное выражение для интеграла, получающегося после перехода к полярным кординатам.

-- Сб май 30, 2009 22:31:32 --

vvvv в сообщении #218426 писал(а):
Может Вам картинка поможет,

Обалдеть что за картинка: если раньше и было что понятно, то теперь -- ни в жисть.

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение30.05.2009, 21:38 
куда уж тройной то интеграл! рассматриваю $y=rcos(t), x=rsin(t) $. интеграл был от 0 до $\frac{\sqrt{2}}{2}r$, соответственно теперь от 0 до $\frac{\pi}{4}$

-- Сб май 30, 2009 23:09:28 --

интеграл тогда и получается $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{r^2-r^2sin^2t}$

-- Сб май 30, 2009 23:25:42 --

очень прошу написать верный интеграл, ибо я не понимаю ваще как его написать

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение30.05.2009, 23:34 
Аватара пользователя
ewert, ну зачем Вы начали про полярные координаты? Бред же! Они хороши, когда есть какая-никакая чуть-чуть сферическая симметрия. А тут её нету ни хрена. Или скажу иначе: они хороши, когда где-то пи выносится за скобку. А тут - - -

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 02:20 
Аватара пользователя
Дай-кось и я помалюю по старой памяти:

Изображение

Вот он, Неопознанный Трехцилиндроидный Обьект в триметрии 8-)

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 02:28 
Вот картинка для пересечения 2-х цилиндров
Для трех цилиндров, Утундрий, наверное, прав, сейчас проверим.
Изображение

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 02:42 
Аватара пользователя
Ну, не знаю, не знаю... Прочитав сие
Yager в сообщении #218380 писал(а):
Оси трех цилиндров (каждый радиуса r) взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке. Найти объем тела ограниченного этими тремя цилиндрами.


я тупо пересек помянутые три цилиндра. Что получилось, то получилось, вот и кушайте его с маслом)

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 08:15 
ИСН в сообщении #218457 писал(а):
ewert, ну зачем Вы начали про полярные координаты? Бред же! Они хороши, когда есть какая-никакая чуть-чуть сферическая симметрия.

Ну зачем же чуть что -- так сразу и сферическая. Вполне достаточно цилиндрической, а она в определённом смысле есть. Получается достаточно простенький интегральчик: $$8\int_0^r\rho\,d\rho\int_{-\pi/4}^{\pi/4}d\varphi\cdot z,$$ где $z=\sqrt{r^2-x^2}=\sqrt{r^2-\rho^2\cos^2\varphi}.$ Интегрировать надо, конечно, сперва по $\rho,$ а уж потом по $\varphi.$

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 13:07 
Аватара пользователя
Но чтобы добраться до этого простенького интегральчика автору темы я бы посоветовал совершить еще некоторые манипуляции. Достаточно всего лишь получить зависимость площади сечений $z=const$ от $z$ и по $z$ ее проинтегрировать. Некое представление о возможных конфигурациях сечения (коих две) дает рисунок, но аналитически все получается еще проще. Нужно только обратиться к неравенствам, определяющим тело $$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {x^2  + y^2  \leqslant 1}  \\   {x^2  + z^2  \leqslant 1}  \\   {y^2  + z^2  \leqslant 1}  \\ \end{array} } \right.\]$$ (которые, к слову, никто здесь до сих пор явно и не выписал). Достаточно очевидно, что искомое сечение есть пересечение квадрата и круга. Интегрировать по $z$ можно от $0$ до $1$, в силу симметрии. Благодаря той же симметрии достаточно подсчитать одну возьмую площади сечения, в полярных координатах или декартовых - не суть важно. Фигура простенькая, можно вообще не интегрировать, а сразу ответ записать...

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 13:38 
Утундрий в сообщении #218523 писал(а):
(которые, к слову, никто здесь до сих пор явно и не выписал).

Естественно, никто: там ведь справа не единички, а эры.

Манипуляции же с сечениями -- ни к чему, это просто запудривание мозгов (самому же себе). Тот вариант, который я выписал -- это просто попытка тупо-непосредственного решения задачи. Которую, кстати, и сам автор явно имел в виду, только в буковках запутался.

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 13:46 
Аватара пользователя
ewert, с моим запудриванием мозгов все интегралы получаются несколько проще. Тупо-непосредственно - хороший метод решения, я и сам его люблю и уважаю, но иногда все-таки нелишним бывает сдержать математический рефлекс и ненадолго включить голову.

Что же касается "эров", то не будете ли вы любезны припомнить как изменяются 3-объемы при гомотопии? Тягать $r$ из формулы в формулу шибко элегантнее чем найти объем для единицы и просто домножить результат на $\[r^3 \]$?

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 13:58 
Утундрий в сообщении #218534 писал(а):
Что же касается "эров", то не будете ли вы любезны припомнить как изменяются 3-объемы при гомотопии?

Не буду любезен. Что, ужо и придраться нельзя?...

А насчёт Ваших горизонтальных сечений -- не могу согласиться, что выйдет проще. Ибо нехорошо они себя ведут: поначалу (сверху) это суть просто квадраты, а потом после определённого момента начинают постепенно скругляться (т.е., расширяясь, ещё и пересекаться с фиксированным кругом). Поди за всем этим уследи; можно, конечно, но -- морока.

 
 
 
 Re: Найти объем фигуры
Сообщение31.05.2009, 14:35 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #218534 писал(а):
...не будете ли вы любезны припомнить как изменяются 3-объемы при гомотопии?
А я в Википедию за гомотопией слазил. Они там из тора --- кружку с ручкой сделали! Как изменился объём --- непонятно. Но кружка явно на 250 мл.
Может, гомотетией ограничимся? :D

 
 
 [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group