Топология. 4-я теорема отделимости.

[CowboyHugges]

Лиля, {1}, {5} тут вообще не причём, у Вас же не дискретная топология. Все замкнутые множества данной топологии имеют вид $(-\infty; a]$ плюс пустое и всё $R^1$. Для них и надо проверять эту аксиому

[Лиля]

хотя... мой пример не коректен... -возможно что $\{1\}$ не являеться закрытым множеством..

CowboyHugges в сообщении #217601 писал(а):

Лиля, {1}, {5} тут вообще не причём, у Вас же не дискретная топология. Все замкнутые множества данной топологии имеют вид $(-\infty; a]$ плюс пустое и всё $R^1$. Для них и надо проверять эту аксиому

да

-- Ср май 27, 2009 13:52:22 --

в таком случае -мы здесь просто не найдем 2х не пустых, закрытых неперепесекающихся множеств -значит аксиома выполняеться...

[Виктор Викторов]

CowboyHugges в сообщении #217597 писал(а):

Лиля, да, но в аксиоме не говорится, что множества должны быть непустыми. Поэтому она и выполняется Пустое множество ничем не хуже других замкнутых

-- Ср май 27, 2009 16:29:35 --

Виктор Викторов, Вы не правы, во-первых четвертая аксиома выполняется А во-вторых первая так раз не выполняется, Вы видимо путаете её с аксиомой Колмогорова, но она везде обозначается $T_0$ А первая заучит так: каждая точка всякой пары различных точек имеет окрестность, не содержащую другую. Она не выполняется

T0 В топологическом пространстве для любых двух различных точек по крайней мере одна из точек имеет открытую окрестность не содержащую другую.

T1 В топологическом пространстве для любых двух различных точек каждая из точек имеет открытую окрестность не содержащую другую.

T2 В топологическом пространстве любых две различные точки имеют непересекающиеся открытые окрестности.

T3 В топологическом пространстве каждая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся открытые окрестности.

T4 В топологическом пространстве каждые два непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся открытые окрестности.

В топологии стрелки, несомненно, для двух любых различных точек можно найти открытую окрестность для одной из них (для той, которая «правее») непересекающуюся с другой точкой.
Выполнимость же четвёртой аксиомы, конечно, не имеет место. Ведь открытые окрестности должны существовать для любых непересекающихся замкнутых множеств. Кстати, пустое множество является подмножеством каждого множества.

[CowboyHugges]

Цитата:

В топологии стрелки, несомненно, для двух любых различных точек можно найти открытую окрестность для одной из них (для той, которая «правее») непересекающуюся с другой точкой.

А теперь читаем внимательно ещё разок Ваше же определение,.. каждая из точек имеет ... . Для которой "левее", вы такой окрестности не найдёте, поэтому первая аксиома не выполняется.
По четвёртой. ... для любых непересекающихся.. В данной топологии два множества не пересекаются только если одно из них пустое, для пустого множества выполнение условия очевидно. Значит четвертая аксиома выполняется. С чем Вы не согласны?

[Виктор Викторов]

CowboyHugges в сообщении #217610 писал(а):

Цитата:

В топологии стрелки, несомненно, для двух любых различных точек можно найти открытую окрестность для одной из них (для той, которая «правее») непересекающуюся с другой точкой.

А теперь читаем внимательно ещё разок Ваше же определение,.. каждая из точек имеет ... . Для которой "левее", вы такой окрестности не найдёте, поэтому первая аксиома не выполняется.
По четвёртой. ... для любых непересекающихся.. В данной топологии два множества не пересекаются только если одно из них пустое, для пустого множества выполнение условия очевидно. Значит четвертая аксиома выполняется. С чем Вы не согласны?

По первой аксиоме Вы правы, а по четвертой я. Пустое множество пересекается с каждым множеством (является его подмножеством). Поэтому пустое множество как открытая окрестность пересекается с каждой открытой окрестностью каждого множества. Да и каждое замкнутое множество пересекается с пустым множеством.

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #217612 писал(а):

Пустое множество пересекается с каждым множеством

Нет

Виктор Викторов в сообщении #217612 писал(а):

(является его подмножеством)

Хотя это и правда

Множества $A$ и $B$ пересекаются, если $(\exists x) (x\in A\&x\in B)$

[CowboyHugges]

Виктор Викторов в сообщении #217612 писал(а):

Пустое множество пересекается с каждым множеством (является его подмножеством).

И скажите чему равно пересечение пустого множества с любым другим?

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #217614 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #217612 писал(а):

Пустое множество пересекается с каждым множеством

Нет

Виктор Викторов в сообщении #217612 писал(а):

(является его подмножеством)

Хотя это и правда

Множества $A$ и $B$ пересекаются, если $(\exists x) (x\in A\&x\in B)$

Вы правы. Спасибо.

[rezidual]

Спасибо большое всем дискутирующим!
Значит, насколько я понял, 4-я аксиома отделимости выполняется для стрелки только в случае если одно из множеств пустое? Других вариантов нет, так?

[Brukvalub]

rezidual в сообщении #217650 писал(а):

Значит, насколько я понял, 4-я аксиома отделимости выполняется для стрелки только в случае если одно из множеств пустое? Других вариантов нет, так?

Для стрелки четвертая аксиома просто выполняется.

[rezidual]

Brukvalub в сообщении #217669 писал(а):

rezidual в сообщении #217650 писал(а):

Значит, насколько я понял, 4-я аксиома отделимости выполняется для стрелки только в случае если одно из множеств пустое? Других вариантов нет, так?

Для стрелки четвертая аксиома просто выполняется.

но одно из множеств должно быть пустым?

[Brukvalub]

rezidual в сообщении #217677 писал(а):

но одно из множеств должно быть пустым?

Аксиома просто выполняется. Другое дело, что

CowboyHugges в сообщении #217610 писал(а):

В данной топологии два множества не пересекаются только если одно из них пустое, для пустого множества выполнение условия очевидно.

[rezidual]

А как по пунктам доказать, что она выполняется?

[Brukvalub]

rezidual в сообщении #217693 писал(а):

А как по пунктам доказать, что она выполняется?

См. обсуждение выше.

[rezidual]

А если мы в качестве двух замкнутых непересекающихся множеств возьмем пустое множество и всю стрелку - будет ли для них выполняться условие 4-й аксиомы?