2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 25  След.

Выражение 0^0
равно 0 3%  3%  [ 2 ]
равно 1 32%  32%  [ 19 ]
не определено 39%  39%  [ 23 ]
не имеет смысла 17%  17%  [ 10 ]
ничего не могу сказать по этому поводу 8%  8%  [ 5 ]
Всего голосов : 59
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert в сообщении #215756 писал(а):
Что значит "обе"? Их там бесконечно много.
"Эй вы, шестеро, ну-ка быстро оба ко мне, это я тебе говорю"! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 11:23 


20/07/07
834
И к чему же эти ветви стремятся в нуле? Там есть какой-то период между ветвями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Начнём с того, что эти ветви не определены в (проколотой) окрестности нуля (если говорить о голоморфных ветвях), поэтому ни к чему не стремятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 11:54 


20/07/07
834
Как это - неопределены? То говорят, их много, то их вообще нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Чтобы выделить ветви, нужно, как минимум, запретить обход вокруг точки ветвления. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 12:07 


20/07/07
834
Вот действительная часть:

Изображение

Вот мнимая часть:

Изображение

Как видим, действительная часть в нуле стремится к единице со всех сторон.

Мнимая же часть хотя и неоднозначна при отрицательной действительной части аргумента, все равно, стремится к нулю в точке 0. В частности, вдоль мнимой оси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 12:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$$z^z=e^{z\,\ln z}=e^{(x+iy)(\ln r+i\varphi)};$$

$$|z^z|=e^{x\,\ln r-y\varphi};\qquad \arg(z^z)=y\,\ln r+x\varphi.$$

Если мы приближаемся к началу координат в границах некоторого фиксированного сектора, то, конечно, предельное значение будет равно единице -- куда ему деваться: модуль будет стремиться к единице, а аргумент к нулю. Но вот если приближаться к нулю по спирали -- так, чтобы $\varphi=\arg z$ рос быстрее, чем убывает $r=|z|$ -- то как модуль, так и аргумент $z^z$ могут плясать как угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 14:11 


20/07/07
834
"Приближение по спирали" означает перескок с одной ветви многозначной функции на другую. Если же оставаться в рамках одной ветви ($0\le\arg z< 2 \pi$), то предел в нуле однозначно единица.

Вот график абсолютного значения функции:

Изображение

Таким образом, модуль в нуле стремится к единице и действительная часть тоже стремится к единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 14:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да. И не только для этой ветви, но и для любой другой. Только любая ветвь определена не на всей комплексной плоскости, а на плоскости с разрезом. На всей же римановой поверхности функции $z^z$ предела нет. И именно потому, что эта поверхность бесконечнолистна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 14:32 


18/09/08
425
Единица - причем однозначно и без вариантов и еще в элементарной арифметике 4-того класса школы.

Почему? Элементарно!

Любое произведение по определению инвариантно относительно умножений на единицу.

$x\cdot y = x\cdot y\cdot 1$ без вариантов (любая арифметика это моноид!)

Степень $x^n$ по определению есть повторение умножений числа x n-раз, причем это умножается на (по крайне мере на одну) единицу всегда как инвариант.

$x^n = 1\cdot x\cdot...$ n раз.

x ноль раз дает только единицу, причем, сам x при этом вообще не играет никакой роли поскольку его нет в записи ни разу.


Кстати отсюда символ Кронекера просто выражается через это свойство $\delta_{ab} = 0^{|a-b|}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 14:41 


20/07/07
834
ewert в сообщении #215809 писал(а):
Да. И не только для этой ветви, но и для любой другой. Только любая ветвь определена не на всей комплексной плоскости, а на плоскости с разрезом. На всей же римановой поверхности функции $z^z$ предела нет. И именно потому, что эта поверхность бесконечнолистна.


Да, но обычно функции понимаются в смысле главного значения. Я себе не могу представить такие f и g, которые имеют комплексное значение с аргументом больше $2\pi$. Если f и g дают число в форме a+bi то предел равен единице, разве не так?

Цитата:
Только любая ветвь определена не на всей комплексной плоскости


На всей плоскости (включая и отрицательную действительную полуось), но не на всей римановой поверхности, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 14:48 


18/09/08
425
Nxx в сообщении #215818 писал(а):
Для любых аналитических в окрестности нуля и обращающихся в нуль при $x=0$ функций, понимаемых в смысле главного значения,
$$\lim_{x \to 0}{F(x)^{f(x)}}=1$$

Так?

Это верно вообще для любых функций в любом смысле и главное здесь имено равенство f(x)=0.
Потому-что это свойство моноида, которое наследуется пространством в котором определенны функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nxx в сообщении #215818 писал(а):
Я себе не могу представить такие f и g, которые имеют комплексное значение с аргументом больше $2\pi$
Вот я тоже "сижу тут, и суслика совсем не вижу....
А ведь он - существует!" :D

-- Чт май 21, 2009 15:52:49 --

Pi в сообщении #215821 писал(а):
Это верно вообще для любых функций в любом смысле и главное здесь имено равенство f(x)=0.
Потому-что это свойство моноида, которое наследуется пространством в котором определенны функции.
Остапа понесло...
Какого, к черту, моноида, какое пространство и что наследует, почему функции определены в пространстве, а не, скажем, на плоскости?
Зачем извергать потоки красивых слов, совсем не понимая их смысла?
Перед кем красуетесь?
Блондинок в округе совсем не видно....

 !  Brukvalub, предупреждение за провокационные высказывания и разжигание флейма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 15:05 


18/09/08
425
Brukvalub в сообщении #215822 писал(а):
Остапа понесло...
Какого, к черту, моноида, какое пространство и что наследует, почему функции определены в пространстве, а не, скажем, на плоскости?
Зачем извергать потоки красивых слов, совсем не понимая их смысла?
Перед кем красуетесь?
Блондинок в округе совсем не видно....

Если вы ничего не поняли и
Если вы не знаете что такое пространство в математике, то какой черт вы вообще лезете?
Я тоже умею призерать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль в степени ноль - единица или неопределенность?
Сообщение21.05.2009, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pi в сообщении #215830 писал(а):
Я тоже умею призерать
А вот я пока выучился только презирать. :cry: :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 362 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 25  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group