Выражение 0^0

[Brukvalub]

ewert в сообщении #215756 писал(а):

Что значит "обе"? Их там бесконечно много.

"Эй вы, шестеро, ну-ка быстро оба ко мне, это я тебе говорю"!

[Nxx]

И к чему же эти ветви стремятся в нуле? Там есть какой-то период между ветвями?

[RIP]

Начнём с того, что эти ветви не определены в (проколотой) окрестности нуля (если говорить о голоморфных ветвях), поэтому ни к чему не стремятся.

[Nxx]

Как это - неопределены? То говорят, их много, то их вообще нет...

[Brukvalub]

Чтобы выделить ветви, нужно, как минимум, запретить обход вокруг точки ветвления.

[Nxx]

Вот действительная часть:



Вот мнимая часть:



Как видим, действительная часть в нуле стремится к единице со всех сторон.

Мнимая же часть хотя и неоднозначна при отрицательной действительной части аргумента, все равно, стремится к нулю в точке 0. В частности, вдоль мнимой оси.

[ewert]

$$z^z=e^{z\,\ln z}=e^{(x+iy)(\ln r+i\varphi)};$$

$$|z^z|=e^{x\,\ln r-y\varphi};\qquad \arg(z^z)=y\,\ln r+x\varphi.$$

Если мы приближаемся к началу координат в границах некоторого фиксированного сектора, то, конечно, предельное значение будет равно единице -- куда ему деваться: модуль будет стремиться к единице, а аргумент к нулю. Но вот если приближаться к нулю по спирали -- так, чтобы $\varphi=\arg z$ рос быстрее, чем убывает $r=|z|$ -- то как модуль, так и аргумент $z^z$ могут плясать как угодно.

[Nxx]

"Приближение по спирали" означает перескок с одной ветви многозначной функции на другую. Если же оставаться в рамках одной ветви ($0\le\arg z< 2 \pi$), то предел в нуле однозначно единица.

Вот график абсолютного значения функции:



Таким образом, модуль в нуле стремится к единице и действительная часть тоже стремится к единице.

[ewert]

Да. И не только для этой ветви, но и для любой другой. Только любая ветвь определена не на всей комплексной плоскости, а на плоскости с разрезом. На всей же римановой поверхности функции $z^z$ предела нет. И именно потому, что эта поверхность бесконечнолистна.

[Pi]

Единица - причем однозначно и без вариантов и еще в элементарной арифметике 4-того класса школы.

Почему? Элементарно!

Любое произведение по определению инвариантно относительно умножений на единицу.

$x\cdot y = x\cdot y\cdot 1$ без вариантов (любая арифметика это моноид!)

Степень $x^n$ по определению есть повторение умножений числа x n-раз, причем это умножается на (по крайне мере на одну) единицу всегда как инвариант.

$x^n = 1\cdot x\cdot...$ n раз.

x ноль раз дает только единицу, причем, сам x при этом вообще не играет никакой роли поскольку его нет в записи ни разу.


Кстати отсюда символ Кронекера просто выражается через это свойство $\delta_{ab} = 0^{|a-b|}$.

[Nxx]

ewert в сообщении #215809 писал(а):

Да. И не только для этой ветви, но и для любой другой. Только любая ветвь определена не на всей комплексной плоскости, а на плоскости с разрезом. На всей же римановой поверхности функции $z^z$ предела нет. И именно потому, что эта поверхность бесконечнолистна.

Да, но обычно функции понимаются в смысле главного значения. Я себе не могу представить такие f и g, которые имеют комплексное значение с аргументом больше $2\pi$. Если f и g дают число в форме a+bi то предел равен единице, разве не так?

Цитата:

Только любая ветвь определена не на всей комплексной плоскости

На всей плоскости (включая и отрицательную действительную полуось), но не на всей римановой поверхности, конечно.

[Pi]

Nxx в сообщении #215818 писал(а):

Для любых аналитических в окрестности нуля и обращающихся в нуль при $x=0$ функций, понимаемых в смысле главного значения,

$$\lim_{x \to 0}{F(x)^{f(x)}}=1$$

Так?

Это верно вообще для любых функций в любом смысле и главное здесь имено равенство f(x)=0.
Потому-что это свойство моноида, которое наследуется пространством в котором определенны функции.

[Brukvalub]

Nxx в сообщении #215818 писал(а):

Я себе не могу представить такие f и g, которые имеют комплексное значение с аргументом больше $2\pi$

Вот я тоже "сижу тут, и суслика совсем не вижу....
А ведь он - существует!"

-- Чт май 21, 2009 15:52:49 --

Pi в сообщении #215821 писал(а):

Это верно вообще для любых функций в любом смысле и главное здесь имено равенство f(x)=0.
Потому-что это свойство моноида, которое наследуется пространством в котором определенны функции.

Остапа понесло...
Какого, к черту, моноида, какое пространство и что наследует, почему функции определены в пространстве, а не, скажем, на плоскости?
Зачем извергать потоки красивых слов, совсем не понимая их смысла?
Перед кем красуетесь?
Блондинок в округе совсем не видно....

Brukvalub, предупреждение за провокационные высказывания и разжигание флейма.

[Pi]

Brukvalub в сообщении #215822 писал(а):

Остапа понесло...
Какого, к черту, моноида, какое пространство и что наследует, почему функции определены в пространстве, а не, скажем, на плоскости?
Зачем извергать потоки красивых слов, совсем не понимая их смысла?
Перед кем красуетесь?
Блондинок в округе совсем не видно....

Если вы ничего не поняли и
Если вы не знаете что такое пространство в математике, то какой черт вы вообще лезете?
Я тоже умею призерать.

[Brukvalub]

Pi в сообщении #215830 писал(а):

Я тоже умею призерать

А вот я пока выучился только презирать.