Задача по функану (самостопряж. оператор, гильб. пр-во)

[ruclen]

Юстас в сообщении #214860 писал(а):

Из критерия Рисса это конечно же не следует.
Что-то я стал сомневаться, верно ли это вообще($2\to 1$). Какой-нибудь интегральный оператор типа $\int_{\mathbb{R}_+} \frac{f(x)}{t+x}dx, \ f\in L_2[0,\infty]$ может дать контрпример. Откуда задача?

Задача от преподавателя. Ваш пример пока обдумываю, пока я не понял ни почему он не компактный, ни почему образ не содержит замкнутого бесконечномерного подпространства.

ASA в сообщении #215090 писал(а):

Тут надо как-то воспользоваться следующим утверждением: если оператор компактен, то его образ либо конечномерен (и тогда замкнут), либо бесконечномерен и не замкнут. Ну, то есть, если образ оператора бесконечномерен и замкнут, то оператор не может быть компактным. И близкое утверждение: бесконечномерном пространстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного. Вот с эти всем надо поиграться.

Это хорошо, но помогает только при доказательстве $1\to 2$

[Юстас]

Я не утверждаю, что преобразование Гильберта дает контрпример - просто выразил сомнение в верности обратной импликации. Но для начала было бы неплохо разобраться с таким частным случаем. Заметьте, функции из образа дифференцируемы на $\mathbb{R}_{+}$.

[terminator-II]

http://groups.google.com/group/sci.math ... ac9a2664d#

подождем-с

[ruclen]

Можно уже не ждать.

Задача решается через унитарную эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения на функцию в пространстве L_2(\mu).

Если этого указания будет мало, дам еще. (сам решил именно с таким указанием)

Всем спасибо за советы, даже если они не помогли

[terminator-II]

ruclen в сообщении #215380 писал(а):

Можно уже не ждать.

Задача решается через унитарную эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения на функцию в пространстве L_2(\mu).

Если этого указания будет мало, дам еще. (сам решил именно с таким указанием)

Всем спасибо за советы, даже если они не помогли

я об этом представлении думал, но оно мне не помогло. выложите решение plz

[ruclen]

terminator-II в сообщении #215415 писал(а):

ruclen в сообщении #215380 писал(а):

Можно уже не ждать.

Задача решается через унитарную эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения на функцию в пространстве L_2(\mu).

Если этого указания будет мало, дам еще. (сам решил именно с таким указанием)

Всем спасибо за советы, даже если они не помогли

я об этом представлении думал, но оно мне не помогло. выложите решение plz

Пусть функция, на которую умножали \phi(x). Докажем в случае, если \phi(x)=x, а мера \mu - мера Лебега на [0,1]. Тогда искомым бесконечномерным в образе является L_2(\frac{1}{2},1). В общем случае нужно приближать этот оператор операторами умножения на другую фукнцию, которая отделена от нуля. Если все L_2(\mu_\epsilon) конечномерные - оператор компактный. Иначе мы нашли бесконечномерное замкнутое пространство в образе.

[terminator-II]

это поток сознания какой-то

[ewert]

Юстас в сообщении #215108 писал(а):

Если есть спектральное разложение - тогда все понятно, но в бесконечномерном пространстве непрерывности и самомопряженности для этого мало.

А, я не заметил, что он ещё и самосопряжён. Тогда вроде всё просто, и спектрального разложения вполне достаточно (а вот непрерывность вроде бы и не при чём). Пусть оператор не компактен; тогда рассмотрим $P_{\Delta}$ -- какой-либо спектральный проектор, отвечающий отрезку ${\Delta}$ (возможно, и бесконечному), отделённому от нуля и такому, что спектр на этом отрезке бесконечнократен. Пусть $A_{\Delta}$ -- сужение исходного оператора $A$ на соответствующее спектральное подпространство $P_{\Delta}H$. Оператор $A_{\Delta}$ по-прежнему самосопряжён и при этом ограниченно обратим (т.к. ${\Delta}$ отделено от нуля). Поэтому множество значений $A_{\Delta}$ совпадает со всем $P_{\Delta}H$, т.е. замкнуто. Это и будет искомым бесконечномерным подпространством в образе $A$.

[terminator-II]

ewert в сообщении #215470 писал(а):

Юстас в сообщении #215108 писал(а):

Если есть спектральное разложение - тогда все понятно, но в бесконечномерном пространстве непрерывности и самомопряженности для этого мало.

А, я не заметил, что он ещё и самосопряжён. Тогда вроде всё просто, и спектрального разложения вполне достаточно (а вот непрерывность вроде бы и не при чём). Пусть оператор не компактен; тогда рассмотрим $P_{\Delta}$ -- какой-либо спектральный проектор, отвечающий отрезку ${\Delta}$ (возможно, и бесконечному), отделённому от нуля и такому, что спектр на этом отрезке бесконечнократен. Пусть $A_{\Delta}$ -- сужение исходного оператора $A$ на соответствующее спектральное подпространство $P_{\Delta}H$. Оператор $A_{\Delta}$ по-прежнему самосопряжён и при этом ограниченно обратим (т.к. ${\Delta}$ отделено от нуля). Поэтому множество значений $A_{\Delta}$ совпадает со всем $P_{\Delta}H$, т.е. замкнуто. Это и будет искомым бесконечномерным подпространством в образе $A$.

или, более формально, то, что предлагал Роберт Израэль (см. ссылку выше): $A=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda dE(\lambda)$
и ,как я понимаю, из этой формулы утверждение следует сразу в обе стороны

[Юстас]

В какой книжке про такое представление внятно написано?

[terminator-II]

Юстас в сообщении #215680 писал(а):

В какой книжке про такое представление внятно написано?

Садовничий Теория операторов(т.е. добросовестно передраный до буквы Рисс Секефальви-Надь Лекции по функциональному анализу). Продвинутый вариант: Иосида Функциональный анализ

[ewert]

terminator-II в сообщении #215635 писал(а):

или, более формально, то, что предлагал Роберт Израэль (см. ссылку выше):
и ,как я понимаю, из этой формулы утверждение следует сразу в обе стороны

Что значит "более формально"? Спектральная мера -- более простой объект, чем интеграл по ней. Впрочем, это некоторая игра словами.

А вот насчёт "в обе стороны" -- по-моему, нет. Только в обратную. Из компактности по этому разложению отсутствие бесконечномерных подпространств непосредственно ещё следует, т.к. подпространства образа вовсе не обязаны быть спектральными. Нужны ещё какие-то дополнительные заклинания типа принципа минимакса.

[terminator-II]

ewert в сообщении #215712 писал(а):

А вот насчёт "в обе стороны" -- по-моему, нет. Только в обратную. Из компактности по этому разложению отсутствие бесконечномерных подпространств непосредственно ещё следует,

да ,пожалуй. что-то не доказывается. похоже тут вообще другая природа

Утв. пусть $A:X\to Y$ -- компактный оператор на пространствах Фреше, тогда $\mathrm{im}\, A$ не содержит замкнутого бесконечномерного подпространства.

Док-во. Предположим противное: имеется бесконечномерное замкнутое пространство $L\subset \mathrm{im}\, A$
Рассмотрим пространство $M=\overline {A^{-1}(L)}$
очевидно, определен оператор $A:M\to L$ он непрерывен и ,значит замкнут.
при этом $\ker A\backslash\{0\}\subset (M\backslash A^{-1}(L))$ ,поскольку множество $\ker A\backslash\{0\}$ -- открыто в $M$, то из последнего включения следует, что $\ker A\backslash\{0\}=\emptyset$, $\ker A=\{0\}$
значит определен оператор $A^{-1}:L\to M$ он замкнут и ,по теореме о замкнутом графике , непрерывен.
таким образом оператор $A:M\to L$ является линейным гомеоморфизмом пространств Фреше. он не может быть компактным. чтд


это я к тому, что в обратную сторону, оказывается, эта теорема вообще не про гильбертовы пространства

кстати, если рассмотреть, какой-нибудь молификатор $S:L^2[a,b]\to C[a,b]$, а они ,как правило, компактны, то может удастся это дотянуть до доказательтсва, того, что $C[a,b]$ не имеет замкнутых в $L^2$ подпространств

[ewert]

terminator-II в сообщении #215877 писал(а):

это я к тому, что в обратную сторону, оказывается, эта теорема вообще не про гильбертовы пространства

Вообще-то это не в обратную, а в прямую сторону: из компактности следует отсутствие подпространств.

Да, в принципе, гильбертовость вроде бы тут не при чём. Меня что останавливало (и останавливает) в этой цепочке -- необходимость отделения ядра. Насколько я помню, отделение в общей банаховой ситуации неконструктивно и ссылается на аксиому выбора. Которая лично мне не в жилу.

В гильбертовом же случае (и не обязательно сепарабельном) всё выглядит просто -- достаточно сузить оператор на ортогональное дополнение к ядру прообраза того самого $L$.

Впрочем, автор в этом месте ссылался непосредственно на теорему Бэра. Вокруг которой все эти факты (о замкнутом графике, об ограниченности обратного и т.д.) и вертятся. И которая сама по себе аксиомы выбора не требует.

[terminator-II]

ewert в сообщении #215987 писал(а):

необходимость отделения ядра.

что Вы имеете ввиду?