Задача по функану (самостопряж. оператор, гильб. пр-во)

[ruclen]

Доказать, что для самосопряженного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие утверждения эквивалентны:
1. Оператор компактный
2. Образ оператора не содержит замкнутого бесконечномерного подпространства.

1 -> 2 у меня получилось не сложно (рассмотрев образы шаров и применив теорему Бэра)
А 2 -> 1 как-то не получается.

Есть какие-нибудь соображения?
Например, как воспользоваться самосопряженностью?

[Юстас]

Можно для начала показать непрерывность, используя самосопряженность и теорему о замкнутом графике. А дальше, наверное, от противного.
Вообще, есть более общее "именное" утверждение для банаховых пространств -критерий Рисса, найти можно в главе 8 книжки С.С. Кутателадзе "Основы функц. анализа", она есть в свободном доступе.

[Dan B-Yallay]

Затер за бредовостью.

[Юстас]

чего это вдруг обратный равен сопряженному?? Он даже непрерывным-то не будет..

[Dan B-Yallay]

Чето то я не о том думал...

[ruclen]

С непрерывностью более-менее понятно. Просто, скорее всего, она была дана.

Юстас в сообщении #214371 писал(а):

Вообще, есть более общее "именное" утверждение для банаховых пространств -критерий Рисса

Почему критерий Рисса более общий, не совсем понимаю. Там более общее пространство, но более простой оператор

Если Вы имеете в виду, что можно примерно так же доказывать, то я пока не понимаю как.
Дело в том что нужно или отталкиваться от некомпактности, или от отсутствия замкнутых бесконечномерных подпространств в образе. А в критерии Рисса тоже отталкиваются от компактности оператора.

[Юстас]

Из критерия Рисса это конечно же не следует.
Что-то я стал сомневаться, верно ли это вообще($2\to 1$). Какой-нибудь интегральный оператор типа $\int_{\mathbb{R}_+} \frac{f(x)}{t+x}dx, \ f\in L_2[0,\infty]$ может дать контрпример. Откуда задача?

[ewert]

кстати, а кто в курсе. Берём множество дифференцируемых функций (не принципиально в каком смысле) в рамках Эль-два.

Почему в нём не может быть бесконечномерных подпространств?

А ведь не может, ежу понятно. Только как-то лень думать или вспоминать, почему. Может, у кого это на слуху?...

[vlad239]

А почему не может? Ограниченные с производной финитные не прокатят?

Влад.

[ewert]

не прокатят, они в Эль-два не замкнуты

[vlad239]

Ах замкнутое подпространство... Так и говорить надо. А то ведь, как известно, даже гиперплоскость может быть не замкнутой. А всюду плотной вместо этого.

Влад.

[ewert]

ну, тут изначально под подпространством понималось именно "замкнутое", независимо от традиций. Иначе и вопроса-то нет.

[vlad239]

Ну хорошо, а нельзя взять в $L_2(-\pi,\pi)$ те функции, у которых при разложении по тригонометрической ортонормированной системе коэффициенты при синусах равны 0? Такие обобщенно-четные функции?

Влад.

[ASA]

Тут надо как-то воспользоваться следующим утверждением: если оператор компактен, то его образ либо конечномерен (и тогда замкнут), либо бесконечномерен и не замкнут. Ну, то есть, если образ оператора бесконечномерен и замкнут, то оператор не может быть компактным. И близкое утверждение: бесконечномерном пространстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного. Вот с эти всем надо поиграться.

[Юстас]

ewert в сообщении #215051 писал(а):

кстати, а кто в курсе. Берём множество дифференцируемых функций (не принципиально в каком смысле) в рамках Эль-два.

Почему в нём не может быть бесконечномерных подпространств?

А ведь не может, ежу понятно. Только как-то лень думать или вспоминать, почему. Может, у кого это на слуху?...

Эта задача, про $C^1$-функции, уже была, там в конце решение.
Интересно еще бы разобрать пример с преобразованием Гильберта в $L_2$, о нем писал выше: оператор самосопряжен, непрерывен и не компактен(вроде бы). Интуитивно кажется, что у него в образе тоже нет бесконечномерных замкнутых подпространств.
Если есть спектральное разложение - тогда все понятно, но в бесконечномерном пространстве непрерывности и самомопряженности для этого мало.