С непрерывностью более-менее понятно. Просто, скорее всего, она была дана.
Вообще, есть более общее "именное" утверждение для банаховых пространств -критерий Рисса
Почему критерий Рисса более общий, не совсем понимаю. Там более общее пространство, но более простой оператор
Если Вы имеете в виду, что можно примерно так же доказывать, то я пока не понимаю как.
Дело в том что нужно или отталкиваться от некомпактности, или от отсутствия замкнутых бесконечномерных подпространств в образе. А в критерии Рисса тоже отталкиваются от компактности оператора.
15.05.2009, 23:10 
). Какой-нибудь интегральный оператор типа ![$\int_{\mathbb{R}_+} \frac{f(x)}{t+x}dx, \ f\in L_2[0,\infty]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/0/8e0a3eefa005fabfc10496a67f8bd13682.png "$\int_{\mathbb{R}_+} \frac{f(x)}{t+x}dx, \ f\in L_2[0,\infty]$")
может дать контрпример. Откуда задача?
те функции, у которых при разложении по тригонометрической ортонормированной системе коэффициенты при синусах равны 0? Такие обобщенно-четные функции?
-функции, уже 
, о нем писал выше: оператор самосопряжен, непрерывен и не компактен(вроде бы). Интуитивно кажется, что у него в образе тоже нет бесконечномерных замкнутых подпространств.