2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача по функану (самостопряж. оператор, гильб. пр-во)
Сообщение15.05.2009, 23:10 


15/05/09
5
Доказать, что для самосопряженного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие утверждения эквивалентны:
1. Оператор компактный
2. Образ оператора не содержит замкнутого бесконечномерного подпространства.

1 -> 2 у меня получилось не сложно (рассмотрев образы шаров и применив теорему Бэра)
А 2 -> 1 как-то не получается.

Есть какие-нибудь соображения?
Например, как воспользоваться самосопряженностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение16.05.2009, 04:38 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Можно для начала показать непрерывность, используя самосопряженность и теорему о замкнутом графике. А дальше, наверное, от противного.
Вообще, есть более общее "именное" утверждение для банаховых пространств -критерий Рисса, найти можно в главе 8 книжки С.С. Кутателадзе "Основы функц. анализа", она есть в свободном доступе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение16.05.2009, 05:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Затер за бредовостью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение16.05.2009, 05:12 
Заслуженный участник


01/12/05
458
:evil:
чего это вдруг обратный равен сопряженному?? Он даже непрерывным-то не будет..

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение16.05.2009, 05:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Чето то я не о том думал... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение16.05.2009, 10:46 


15/05/09
5
С непрерывностью более-менее понятно. Просто, скорее всего, она была дана.
Юстас в сообщении #214371 писал(а):
Вообще, есть более общее "именное" утверждение для банаховых пространств -критерий Рисса

Почему критерий Рисса более общий, не совсем понимаю. Там более общее пространство, но более простой оператор

Если Вы имеете в виду, что можно примерно так же доказывать, то я пока не понимаю как.
Дело в том что нужно или отталкиваться от некомпактности, или от отсутствия замкнутых бесконечномерных подпространств в образе. А в критерии Рисса тоже отталкиваются от компактности оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 09:16 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Из критерия Рисса это конечно же не следует.
Что-то я стал сомневаться, верно ли это вообще($2\to 1$). Какой-нибудь интегральный оператор типа $\int_{\mathbb{R}_+} \frac{f(x)}{t+x}dx, \ f\in L_2[0,\infty]$ может дать контрпример. Откуда задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 21:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
кстати, а кто в курсе. Берём множество дифференцируемых функций (не принципиально в каком смысле) в рамках Эль-два.

Почему в нём не может быть бесконечномерных подпространств?

А ведь не может, ежу понятно. Только как-то лень думать или вспоминать, почему. Может, у кого это на слуху?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 21:40 


06/01/09
231
А почему не может? Ограниченные с производной финитные не прокатят?

Влад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 21:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
не прокатят, они в Эль-два не замкнуты

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 22:02 


06/01/09
231
Ах замкнутое подпространство... Так и говорить надо. А то ведь, как известно, даже гиперплоскость может быть не замкнутой. А всюду плотной вместо этого.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 22:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ну, тут изначально под подпространством понималось именно "замкнутое", независимо от традиций. Иначе и вопроса-то нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 22:08 


06/01/09
231
Ну хорошо, а нельзя взять в $L_2(-\pi,\pi)$ те функции, у которых при разложении по тригонометрической ортонормированной системе коэффициенты при синусах равны 0? Такие обобщенно-четные функции?

Влад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение18.05.2009, 23:12 


30/01/09
194
Тут надо как-то воспользоваться следующим утверждением: если оператор компактен, то его образ либо конечномерен (и тогда замкнут), либо бесконечномерен и не замкнут. Ну, то есть, если образ оператора бесконечномерен и замкнут, то оператор не может быть компактным. И близкое утверждение: бесконечномерном пространстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного. Вот с эти всем надо поиграться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по функану
Сообщение19.05.2009, 00:01 
Заслуженный участник


01/12/05
458
ewert в сообщении #215051 писал(а):
кстати, а кто в курсе. Берём множество дифференцируемых функций (не принципиально в каком смысле) в рамках Эль-два.

Почему в нём не может быть бесконечномерных подпространств?

А ведь не может, ежу понятно. Только как-то лень думать или вспоминать, почему. Может, у кого это на слуху?...

Эта задача, про $C^1$-функции, уже была, там в конце решение.
Интересно еще бы разобрать пример с преобразованием Гильберта в $L_2$, о нем писал выше: оператор самосопряжен, непрерывен и не компактен(вроде бы). Интуитивно кажется, что у него в образе тоже нет бесконечномерных замкнутых подпространств.
Если есть спектральное разложение - тогда все понятно, но в бесконечномерном пространстве непрерывности и самомопряженности для этого мало.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group