Подпространство С[0,1]

[Юстас]

А почему все предельные функции окажутся непрерывно дифференцируемыми?

[Руст]

Юстас писал(а):

А почему все предельные функции окажутся непрерывно дифференцируемыми?

Любая предельная функция в некоторой окрестности точки (ненулевой) является функцией $g_n(x)$ c точностью до множителя.

[Юстас]

Если выбросить некоторую окрестность 0, это понятно. А что происходит в 0?

[Руст]

В нуле функция равна нулю вместе со всеми производными.

[Someone]

Сомневаюсь. Норма в пространстве $C[a,b]$ никак не контролирует поведение производных, поэтому сходимости производных, скорее всего, не будет.

[Руст]

Someone писал(а):

Сомневаюсь. Норма в пространстве $C[a,b]$ никак не контролирует поведение производных, поэтому сходимости производных, скорее всего, не будет.

Я взял в качестве пространства функций $\sum_k x_kg_k(x)$ с ограничениями $x_k=y_kexp(-exp(exp(k)))$ с ограниченными последовательностями $y_k$. Соответственно топология из $C[0,1]$ индуцирует сходимость последовательностей $y_k$ покомпонентно (по каждой координате). Предельные значения компонент $z_k$ даёт сумму $f(x)=\sum_kx_{0k}g_k(x)$.
Замкнутость $X_0$ в $C[0,1]$ означает, что если предельная функция $f(x)$ непрерывна, то она должна принадлежат $X_0$.
Вот сейчас понимаю, что моя попытка сделать дифференцируемость в нуле (тем более бесконечно дифференцируемой) была наивной. Т.е. я построил только класс функций бесконечно дифференцируемых в $(0,1]$ и принимающих значение 0 в нуле и непрерывных там. Большего (дифференцируемости в 0) добится не удастся. Если ограничится функциями у которых только конечное число компонент отлична от нуля, то они не дадут замкнутого пространства. Если расширить так, чтобы они образовали замкнутое пространство, то большинства функций не будут дифференцируемость в 0.
Получается так, что если пространство дифференцируемых в $[0,1]$ функций замкнуто в $C[0,1]$, то оно конечномерно. Суть доказательство сводится к тому, что если бесконечномерно, то найдётся точка, в любой окрестности которой ограничение нашего пространства бесконечномерна. Замкнутость пространства и бесконечномерность около точки $x_0$ позволяет выбрать последовательность точек сходящихся к $x_0$? что в окрестности этой точки на выбранных точках предельная функция ведёт как $\sqrt{|x-x_0|}$, т.е. не предельная функция не дифференцируема в т. $x_0$.

[Юстас]

Как мне кажется, превратить рассуждение Руста в строгое доказательство не совсем тривиально. Идейно понятно, что так должно быть, но как это строго делать - я не знаю.
Мне эту задачу давали решать после изучения на лекциях некоторых свойств компактных операторов, что в немалой степени является подсказкой.
Суть моего подхода такова: можно считать, что в нуле все функции равны 0. Рассмотрим оператор $B$, действущий по правилу $\left(Bx\right)(t)=\int\limits_0^t x(s)ds$, ясно, что $B(C[0,1])=C_0^{1}[0,1]$. По теореме Арцела-Асколи $B$ компактен(так как образ единичного шара относительно компактен), а наше подпространство $Y_0$ есть замкнутое подпространство образа $B$. Но для компактных операторов известно(критерий нормальной разрешимости), что замкнутое подмножество образа конечномерно.