С непрерывностью более-менее понятно. Просто, скорее всего, она была дана.
Вообще, есть более общее "именное" утверждение для банаховых пространств -критерий Рисса
Почему критерий Рисса более общий, не совсем понимаю. Там более общее пространство, но более простой оператор
Если Вы имеете в виду, что можно примерно так же доказывать, то я пока не понимаю как.
Дело в том что нужно или отталкиваться от некомпактности, или от отсутствия замкнутых бесконечномерных подпространств в образе. А в критерии Рисса тоже отталкиваются от компактности оператора.