Исправил кое-что. Проверьте.
Найти интервал сходимости степенного ряда
. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.По формуле Даламбера:
![$$R=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}:\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\ln^3{(n+2)}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=$$ $$R=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}:\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\ln^3{(n+2)}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/5/7a5843de629ca3db3797d5972623d95a82.png)

Интервал сходимости

.
Теперь надо исследовать сходимость ряда на концах интервала.
1)
(Я так понял
?)Применим интегральный признак
![$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\frac{d[\ln{(x+1)}]}{\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\left[-\frac{1}{2\ln^2{(x+1)}}\right]_{1}^{A}=$$ $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\frac{d[\ln{(x+1)}]}{\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\left[-\frac{1}{2\ln^2{(x+1)}}\right]_{1}^{A}=$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/d/ccd1827f32106f75e8432f946a65e0f782.png)

Несобственный интеграл

сходится, значит сходится и ряд

.
2) 
Тут я так понял, надо по Лейбницу исследовать:
1.

2.

при любом

. Знак модуля можно отбросить.
Очевидно, что

. следовательно абсолютные величины членов ряда монотонно убывают.
Ряд сходится. Теперь установим тип сходимости ряда.
Из
1) следут сходимость ряда

, значит ряд сходится абсолютно.
В итоге областью сходимости данного ряда служит -
![$$x\in [-1, 1]$$ $$x\in [-1, 1]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/c/bccedfeffad25c8bc2f72a02eb3aba4082.png)
.
Ответ: область сходимости ряда
.