Найти интервал сходимости степенного ряда (проверить)

[rar]

Исправил кое-что. Проверьте.

Найти интервал сходимости степенного ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}x^n$$

. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

По формуле Даламбера:

$$R=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}:\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\ln^3{(n+2)}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac{\ln{(1+2\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}{1+\frac{\ln{(1+\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}\right)^3=\lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}=1$$

Интервал сходимости

$$-1<x<1$$

.

Теперь надо исследовать сходимость ряда на концах интервала.


1)

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(1)^n$$

(Я так понял

$$(1)^n=1$$

?)

Применим интегральный признак

$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\frac{d[\ln{(x+1)}]}{\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\left[-\frac{1}{2\ln^2{(x+1)}}\right]_{1}^{A}=$$

$$=\lim_{A\to +\infty}\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\ln^2{(A+1)}}+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\lim_{A\to +\infty}\left(0+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\frac{1}{2\ln^2{2}}$$

Несобственный интеграл $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}} сходится, значит сходится и ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(1)^n$$

.



2)

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(-1)^n$$

Тут я так понял, надо по Лейбницу исследовать:

1.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=0$$

2.

$$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>0$$

при любом

$$n$$

. Знак модуля можно отбросить.
Очевидно, что

$$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}$$

. следовательно абсолютные величины членов ряда монотонно убывают.

Ряд сходится. Теперь установим тип сходимости ряда.
Из 1) следут сходимость ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}$$

, значит ряд сходится абсолютно.

В итоге областью сходимости данного ряда служит -

$$x\in [-1, 1]$$

.


Ответ: область сходимости ряда

$$x\in [-1, 1]$$

.

[ewert]

Моментально. Первые сомножители вверху и внизу в пределе моментально сокращаются. Вторые -- сокращаются тем более, ибо логарифмы меняются заведомо много медленнее своих аргументов (а уж как это обосновать формально -- думайте сами).

[rar]

ewert" в сообщении #213596 писал(а):

Моментально. Первые сомножители вверху и внизу в пределе моментально сокращаются.

Не могу понять, как это они там сократятся?

[ewert]

они в пределе сократятся. И это должно происходить на автомате. Чему равен предел ${n+2\over n+1}$... ?

[rar]

ewert" в сообщении #213601 писал(а):

они в пределе сократятся. И это должно происходить на автомате. Чему равен предел ${n+2\over n+1}$... ?

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}=1$$

Я наверно не понимаю, что вы имеете в виду по "сократятся". Как они там должны сократится???

[ewert]

Вот ровно так и должны. Предел их отношения откровенно равен единице. А, между прочим, предел произведения (того отношения на всё остальное) -- равен произведению пределов.

[rar]

Могу вот так записать

$$$$\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{2}{n})\ln^3{(n+2)}}{(1+\frac{1}{n})\ln^3{(n+1)}}$$$$

- и что это даст?

[ewert]

о господи. Докажите, что отношение логарифмов стремится к единице (раз уж этот ответ очевиден).

А почему он обязан быть очевидным. Потому, что на бесконечности эн плюс два эквивалентно эн плюс одному. Ну а для логарифмов (ввиду их медленного роста) -- так и тем паче.

[rar]

Все-таки с пределом логарифмов я еще не совсем разобрался.

[ewert]

Во-первых, можно просто пролопиталить (кубы уберите куда подальше, их добавить в любой момент можно).

Во-вторых. Если запрещено лопиталить, то просто представьте $\ln(n+2)$ как $\ln(n+1)+\ln{n+2\over n+1}.$ Первое слагаемое откровенно стремится к бесконечности, второе же -- не менее откровенно к нулю. Откуда всё и следует.

[Nurgali]

А если написать так

$$\left(\frac{\ln{(n+2)}}{\ln{(n+1)}}\right)^3= \left(\frac{\ln{n(1+\frac{2}{n})}}{\ln{n(1+\frac{1}{n})}}\right)^3= \left(\frac{\ln{n}+\ln{(1+\frac{2}{n})}}{\ln{n}+\ln{(1+\frac{1}{n})}}\right)^3=... $$

[ewert]

ну и так можно, конечно. Ровно с тем же эффектом.

[rar]

Ну

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\ln{n}+\ln{(1+2\cdot 0)}}{\ln{n}+\ln{(1+0)}}\right)^3$$

. Но, как избавиться от \ln{n}?

[ewert]

Молча избавиться. Просто поделите числитель и знаменатель почленно на логарифм эн (и, кстати, наведите порядок в записи вторых слагаемых, пусть это и непринципиально).

[rar]

Там я кое-что исправил.