2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти интервал сходимости степенного ряда (проверить)
Сообщение13.05.2009, 18:31 
Исправил кое-что. Проверьте.

Найти интервал сходимости степенного ряда $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}x^n$$. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

По формуле Даламбера:
$$R=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}:\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\ln^3{(n+2)}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=$$
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac{\ln{(1+2\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}{1+\frac{\ln{(1+\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}\right)^3=\lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}=1$$

Интервал сходимости $$-1<x<1$$.

Теперь надо исследовать сходимость ряда на концах интервала.


1) $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(1)^n$$
(Я так понял $$(1)^n=1$$?)

Применим интегральный признак
$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\frac{d[\ln{(x+1)}]}{\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\left[-\frac{1}{2\ln^2{(x+1)}}\right]_{1}^{A}=$$
$$=\lim_{A\to +\infty}\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\ln^2{(A+1)}}+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\lim_{A\to +\infty}\left(0+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\frac{1}{2\ln^2{2}}$$

Несобственный интеграл $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}} сходится, значит сходится и ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(1)^n$$.



2) $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(-1)^n$$ Тут я так понял, надо по Лейбницу исследовать:

1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=0$$
2. $$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>0$$ при любом $$n$$. Знак модуля можно отбросить.
Очевидно, что $$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}$$. следовательно абсолютные величины членов ряда монотонно убывают.

Ряд сходится. Теперь установим тип сходимости ряда.
Из 1) следут сходимость ряда $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}$$, значит ряд сходится абсолютно.

В итоге областью сходимости данного ряда служит - $$x\in [-1, 1]$$.


Ответ: область сходимости ряда $$x\in [-1, 1]$$.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 18:39 
Моментально. Первые сомножители вверху и внизу в пределе моментально сокращаются. Вторые -- сокращаются тем более, ибо логарифмы меняются заведомо много медленнее своих аргументов (а уж как это обосновать формально -- думайте сами).

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 18:44 
ewert" в сообщении #213596 писал(а):
Моментально. Первые сомножители вверху и внизу в пределе моментально сокращаются.


Не могу понять, как это они там сократятся?

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 18:48 
они в пределе сократятся. И это должно происходить на автомате. Чему равен предел ${n+2\over n+1}$... ?

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 18:52 
ewert" в сообщении #213601 писал(а):
они в пределе сократятся. И это должно происходить на автомате. Чему равен предел ${n+2\over n+1}$... ?


$$\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}=1$$

Я наверно не понимаю, что вы имеете в виду по "сократятся". Как они там должны сократится???

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 18:58 
Вот ровно так и должны. Предел их отношения откровенно равен единице. А, между прочим, предел произведения (того отношения на всё остальное) -- равен произведению пределов.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 19:05 
Могу вот так записать $$$$\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{2}{n})\ln^3{(n+2)}}{(1+\frac{1}{n})\ln^3{(n+1)}}$$$$ - и что это даст?

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 19:11 
о господи. Докажите, что отношение логарифмов стремится к единице (раз уж этот ответ очевиден).

А почему он обязан быть очевидным. Потому, что на бесконечности эн плюс два эквивалентно эн плюс одному. Ну а для логарифмов (ввиду их медленного роста) -- так и тем паче.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 21:10 
Все-таки с пределом логарифмов я еще не совсем разобрался.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 21:20 
Во-первых, можно просто пролопиталить (кубы уберите куда подальше, их добавить в любой момент можно).

Во-вторых. Если запрещено лопиталить, то просто представьте $\ln(n+2)$ как $\ln(n+1)+\ln{n+2\over n+1}.$ Первое слагаемое откровенно стремится к бесконечности, второе же -- не менее откровенно к нулю. Откуда всё и следует.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 21:23 
А если написать так

$$\left(\frac{\ln{(n+2)}}{\ln{(n+1)}}\right)^3=
\left(\frac{\ln{n(1+\frac{2}{n})}}{\ln{n(1+\frac{1}{n})}}\right)^3=
\left(\frac{\ln{n}+\ln{(1+\frac{2}{n})}}{\ln{n}+\ln{(1+\frac{1}{n})}}\right)^3=...
$$

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 21:28 
ну и так можно, конечно. Ровно с тем же эффектом.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 21:36 
Ну $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\ln{n}+\ln{(1+2\cdot 0)}}{\ln{n}+\ln{(1+0)}}\right)^3$$. Но, как избавиться от \ln{n}?

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 21:44 
Молча избавиться. Просто поделите числитель и знаменатель почленно на логарифм эн (и, кстати, наведите порядок в записи вторых слагаемых, пусть это и непринципиально).

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости степенного ряда
Сообщение13.05.2009, 22:26 
Там я кое-что исправил.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group