Исправил кое-что. Проверьте.
Найти интервал сходимости степенного ряда
. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.По формуле Даламбера:
![$$R=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}:\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\ln^3{(n+2)}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=$$ $$R=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}:\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\ln^3{(n+2)}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/5/7a5843de629ca3db3797d5972623d95a82.png)
![$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac{\ln{(1+2\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}{1+\frac{\ln{(1+\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}\right)^3=\lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}=1$$ $$=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac{\ln{(1+2\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}{1+\frac{\ln{(1+\frac{1}{n})}}{\ln{n}}}\right)^3=\lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{1+0}{1+0}=1$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/3/6d39174ebc77177d5b180cbb323683b682.png)
Интервал сходимости
![$$-1<x<1$$ $$-1<x<1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/3/b33924a2fe87f3dd30d5c519fac9d45e82.png)
.
Теперь надо исследовать сходимость ряда на концах интервала.
1)
(Я так понял
?)Применим интегральный признак
![$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\frac{d[\ln{(x+1)}]}{\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\left[-\frac{1}{2\ln^2{(x+1)}}\right]_{1}^{A}=$$ $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\frac{d[\ln{(x+1)}]}{\ln^3{(x+1)}}=\lim_{A\to +\infty}\left[-\frac{1}{2\ln^2{(x+1)}}\right]_{1}^{A}=$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/d/ccd1827f32106f75e8432f946a65e0f782.png)
![$$=\lim_{A\to +\infty}\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\ln^2{(A+1)}}+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\lim_{A\to +\infty}\left(0+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\frac{1}{2\ln^2{2}}$$ $$=\lim_{A\to +\infty}\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\ln^2{(A+1)}}+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\lim_{A\to +\infty}\left(0+\frac{1}{2\ln^2{2}}\right)=\frac{1}{2\ln^2{2}}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/0/42027d38c8730ad8cf422abc7f6400db82.png)
Несобственный интеграл
![$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}} $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^3{(x+1)}}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/0/7d0d081c75b300791cba1df00c969fab82.png)
сходится, значит сходится и ряд
![$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(1)^n$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(1)^n$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/0/c905bc835bfbe33e495f659ad6bdb40482.png)
.
2) ![$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(-1)^n$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}(-1)^n$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/2/b62f732feac5c3511f659990184cce4882.png)
Тут я так понял, надо по Лейбницу исследовать:
1.
![$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=0$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}=0$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/a/67adb86ebdb42df37cd560764eea985e82.png)
2.
![$$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>0$$ $$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>0$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/5/a85f248c534e8d0189088ca02ddfd21d82.png)
при любом
![$$n$$ $$n$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49da7325822089835b531a5fce8b94e82.png)
. Знак модуля можно отбросить.
Очевидно, что
![$$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}$$ $$\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}>\frac{1}{(n+2)\ln^3{(n+2)}}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/6/1c6058c2f9cacbd525b14aff1b221cff82.png)
. следовательно абсолютные величины членов ряда монотонно убывают.
Ряд сходится. Теперь установим тип сходимости ряда.
Из
1) следут сходимость ряда
![$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/5/045d070f46437f8373030f749b40921c82.png)
, значит ряд сходится абсолютно.
В итоге областью сходимости данного ряда служит -
![$$x\in [-1, 1]$$ $$x\in [-1, 1]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/c/bccedfeffad25c8bc2f72a02eb3aba4082.png)
.
Ответ: область сходимости ряда
.