анализ ДУ2 на устойчивость решения

[BabbyAS]

В одной статье по физике встретила такое:
для уравнения вида $y''-G(t)y=0$ решение неустойчиво при $G(t)>0$ и устойчиво при $G(t)<0$
Не поможете найти где-нибудь в математической литературе обоснование такого подхода?

[Jnrty]

Jnrty:

Каждая формула должна быть окружена знаками доллара: $y''-G(t)y=0$. Тег [mаth] в большинстве случаев вставляется сам.

$y''-G(t)y=0$

Подробнее о правилах записи формул можно почитать в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

Исправьте, пока не переехали в "Карантин".

[DM_13]

Это неверно.
Т.к. уравнение линейное однородное, то устойчивость равносильна ограниченности всех решений.

Пусть

$$G(t)=-\frac{1}{t^2\ln t}$$

. Тогда

$$y(t) = \ln t$$

- частное решение. Оно не ограничено. При этом

$$G(t)<0$$

при всех

$$t>1$$

.

[BabbyAS]

DM_13" в сообщении #213497 писал(а):

Это неверно.
Т.к. уравнение линейное однородное, то устойчивость равносильна ограниченности всех решений.

Не уверена, что там автор под устойчивостью подразумевал ограниченность. Там под устойчивостью понимается, что нет экспоненциального роста.

[DM_13]

Я не подразумеваю под устойчивостью ограниченность. Я говорю об устойчивости по Ляпунову, которая для линейных однородных уравнений равносильна ограниченности решений.

Т.е. речь идёт о том, что если

$$G(t)<0$$

, то нет экспоненциального роста, а если

$$G(t)>0$$

, то он есть? Это тоже не верно. Пусть

$$G(t) = \frac{6}{t^2}$$

.

$$G(t)>0$$

.

$$y(t) = t^3$$

частное решение. "Экспоненциального роста" у него нет.

Сформулируйте чётко что понимаете под устойчивостью.

[BabbyAS]

DM_13 в сообщении #213500 писал(а):

Сформулируйте чётко что понимаете под устойчивостью.

Цитирую автора (Plesset, 1954) (в моём переводе с английского):

Цитата:

Как хорошо известно, для ДУ такой формы (см выше) оба решения не могут быть ограничены для $t>t0$ когда $G(t)>0$ Таким образом мы делаем вывод, что решение неустойчиво, когда $G(t)$ положительно. И, наоборот, решение устойчиво, когда $G(t)$ отрицательно.
Под устойчивостью (неустойчивостью) здесь подразумевается, что нет экспоненциального роста (или убывания).

Я нашла подобные рассуждения только о колеблющихся/неколеблющихся решениях.

[мат-ламер]

Я не специалист, но по поводу устойчивости уравнения можно почитать, например, в Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Глава 3. Первый метод Ляпунова. Здесь х.числа уравнения лежат в левой полуплоскости. По поводу неустойчивости я пока сомневаюсь.

[terminator-II]

Если $G>0$ то неустойчивость доказывается легко: $xy$- функция Четаева(?). (надо бы это проверить) Во всяком случае, если $G$ отделена от нуля сверху, то неустойчивость гарантирована. Доказательство устойчивости гамильтоновой системы -- всегда не просто. Думаю, что частные теоремы об устойчивости этого уравнения действительно надо искать в цитированном учебнике Демидовича. Но только не надо считать хар. числа, как это предлагает предыдущий оратор.

[мат-ламер]

У Демидовича встречается понятие "спектр нелинейной системы". На стр. 138 приведён пример уравнения со "сплошным спектром", но я не разбирался в этом.

[DM_13]

мат-ламер" в сообщении #213534 писал(а):

У Демидовича встречается понятие "спектр нелинейной системы". На стр. 138 приведён пример уравнения со "сплошным спектром", но я не разбирался в этом.

Никакого отношения к обсуждаемой теме это не имеет. Не путайте человека.

[terminator-II]

всетаки с Четаевым или без при $G\ge 0$ неустойчивость мы получим.

[мат-ламер]

BabbyAs. Можно поинтересоваться, откуда Вы взяли утверждения, приведенные в первом посту? Можно ссылку?

[BabbyAS]

мат-ламер в сообщении #213541 писал(а):

Можно поинтересоваться, откуда Вы взяли утверждения, приведенные в первом посту? Можно ссылку?

Статья On the Stability of Fluid Flows with Spherical Symmetry, M.S.Plesset, Jornal of applied physics, vol.25, N1, Jan.1954.
Автор при рассуждениях ссылается на Беллмана (1949)

Спасибо за ответы. Просто я пока не очень понимаю, можно ли использовать такой метод, и чем его обосновать, чтобы не получилось, что в вопросах математики один физик на другого ссылается

[BabbyAS]

Для меня вопрос более волнующий: можно ли $G(t)=0$ рассматривать как нахождение некого критического $t$ как параметр, при котором решение из неустойчивого становится устойчивым?

[DM_13]

Нельзя. Если функция $G(t)$ достаточно быстро стремится к нулю при $t\to+\infty$ (например, $G(t)=e^{-t}$ или $G(t)=-e^{-t}$), то асимптотика решений уравнений $y^{\prime\prime}-G(t)y=0$ будет такой же, как у уравнения $y^{\prime\prime}=0$, т.е. экспоненциального роста не будет. При этом знак $G(t)$ не играет никакой роли.

Вообще понятие устойчивости в этой работе какое-то странное - если нет ни экспоненциального роста ни экспоненциального убывания, то получается одновременно и устойчивость и неустойчивость:). Например, уравнение $y^{\prime\prime}=0$ - устойчиво или неустойчиво в смысле этой статьи?:)