Доказать, что произведение коммутаторов - это коммутатор.

[galileopro]

Вы считаете, что 2 такие группы из 96 элементов(которые упоминал tolstopuz) определяются именно таким свойством - произведение коммутатора 2-х элементов из группы являются коммутатором, принадлежащим данной группе, являются свободными, в них ктоме групповой операции перемножения коммутаторов не выполняются никакие другие соотношения между элементами группы(вернее результаты этих соотношений не принадлежат группе)?

[galileopro]

И еще, какие сокращения на границе слов?
Что за сокращения?
Ну да, если на границе слов стоят два взаимнообратных элемента, то они сократятся, но это еще не повод доказать, что в этой группе произведение 2-х коммутаторов не является или является коммутатором.
Наверно.

[vlad239]

Еще раз.

Если бы это было верно в свободной группе с четырьмя образующими, то существовали бы слова только из символов $a,b,a^{-1},b^{-1},c,d,c^{-1},d^{-1}$, коммутатор которых был бы произведением наших двух коммутаторов. Тогда те же самые слова годились бы и для любой другой группы. А поскольку есть контрпримеры - это свойство для свободной группы неверно. Я спросил - есть ли его прямое доказательство. Получил в ответ

Цитата:

В свободной группе это утверждение очевидно - приведенные формы слов можно сравнивать визуально.

И написал, что ничего не понял. И до сих пор не понимаю.

Влад.

[VAL]

galileopro писал(а):

Вы считаете, что 2 такие группы из 96 элементов(которые упоминал tolstopuz) определяются именно таким свойством - произведение коммутатора 2-х элементов из группы являются коммутатором, принадлежащим данной группе, являются свободными, в них ктоме групповой операции перемножения коммутаторов не выполняются никакие другие соотношения между элементами группы(вернее результаты этих соотношений не принадлежат группе)?

Tolstopuz утверждал прямо противоположное.

И вообще, свободные группы из 96 элементов - это сильно!

[galileopro]

Так, сегодня напряг препода, он показал это задание. Итак
1 Образована группа с групповой операцией умножения из элементов {0,1,a,b,c,d, a-1,b-1,c-1,d-1}
2 0*a=0, 0*b=0, и т. д.
3 a-1 * a=a * a-1=1, b-1 * b=b * b-1 =1,............. 1*1=1, 0*1=1*0=1
4 (ab)-1=b-1 * a-1 и если там стоит произведение не 2 а большего числа элементов, то по аналогии
5 Рассматривают 2 коммутатора: первый с элементами a, b а второй с c,d.
И надо проверить можно ли подобрать такие P(a,b,c,d,a-1,b-1,c-1,d-1), и Q(a,b,c,d,a-1,b-1,c-1,d-1) чтобы произведение коммутаторов с a,b,c,d равнялось коммутатору P, Q?
6 Ответ в задаче отрицательный - нельзя.
7 Но я непойму почему нельзя

[galileopro]

Да и еще походу произведение p и q группе вообще не принадлежит

[VAL]

galileopro писал(а):

Так, сегодня напряг препода, он показал это задание. Итак
1 Образована группа с групповой операцией умножения из элементов {0,1,a,b,c,d, a-1,b-1,c-1,d-1}
2 0*a=0, 0*b=0, и т. д.
3 a-1 * a=a * a-1=1, b-1 * b=b * b-1 =1,............. 1*1=1, 0*1=1*0=1

Мягко говоря, странная группа! Из приведенных соотношений следует, что в ней, по крайней мере, четыре нейтральных элемента: a, b, 1 и 0. Но так не бывает!

Цитата:

4 (ab)-1=b-1 * a-1 и если там стоит произведение не 2 а большего числа элементов, то по аналогии

Это соотношение справедливо в любой группе и вытекает и аксиом группы.

Цитата:

5 Рассматривают 2 коммутатора: первый с элементами a, b а второй с c,d.
И надо проверить можно ли подобрать такие P(a,b,c,d,a-1,b-1,c-1,d-1), и Q(a,b,c,d,a-1,b-1,c-1,d-1) чтобы произведение коммутаторов с a,b,c,d равнялось коммутатору P, Q?
6 Ответ в задаче отрицательный - нельзя.

Полная неожиданность! Если не считать того обстоятельства, что все, кто ответил Вам в этой теме, именно это и утверждали.

[galileopro]

Спасибо запомощь
Ваши доводы я понял, но
1 Я слабо представляю методику формулирования д-ва (ну это ладно, в этом помощи не требую, попробую от обратного)
2 Там в теме были примеры (Мерзляк и...), что пр-е коммутаторов коммутатором не является, ну это частный вывод, а не общий
3 Пример конца 60-х и еще некоторые примеры из темы утверждают, что опять же есть группы, в которых не для всех элементов пр-е коммутаторов явл. коммутатором (но для некоторых явл.)
4 С переходами от общего к частному и наоборот большие проблемы
5 Для доказательства общность нарушать нельзя
6 Всем огромное спасибо за участие

[tolstopuz]

vlad239 писал(а):

Я спросил - есть ли его прямое доказательство. Получил в ответ

Цитата:

В свободной группе это утверждение очевидно - приведенные формы слов можно сравнивать визуально.

И написал, что ничего не понял. И до сих пор не понимаю.

Что-то я погорячился. Мне этот факт тоже перестал казаться очевидным.

[VAL]

galileopro писал(а):

Спасибо запомощь
Ваши доводы я понял

У меня есть в этом серьезные сомнения.

Цитата:

1 Я слабо представляю методику формулирования д-ва (ну это ладно, в этом помощи не требую, попробую от обратного)
2 Там в теме были примеры (Мерзляк и...), что пр-е коммутаторов коммутатором не является, ну это частный вывод, а не общий
3 Пример конца 60-х и еще некоторые примеры из темы утверждают, что опять же есть группы, в которых не для всех элементов пр-е коммутаторов явл. коммутатором (но для некоторых явл.)
4 С переходами от общего к частному и наоборот большие проблемы

А вот с пунктом 4 я согласен.

Делаю последнюю попытку объяснить.

Допустим, Вам предложили доказать или опровергнуть утверждение: все кошки - белые.
Vlad239, Tolstopuz и VAL притащили Вам рыжую Мурку, полосатого Барсика и черного Ваську. А Вы им говорите: "Спасибо, конечно! Но мне нужно проверить общее утверждение. Поэтому Ваши частные примеры ничего не доказывают"

Так понятно?

[mrbus]

С опозданием на полтора года...
Вам нужен был алгоритм разложения коммутатора [p,q] в произведение коммутаторов.
$[p,q] = [pp,p^{-1}q] [p^{-1}q,p]$
$[p,q] = [p,q^{-1}p] [q^{-1}p,qq]$
Ещё намёки... Если а и bc коммутируют (abc = bca), то
[a,b][ba,c] = [b,c]

[bot]

Нет, не нужен был. Вопрос ставился наоборот: во всякой ли группе произведение коммутаторов является некоторым коммутатором. Никого алгоритма здесь придумать невозможно, поскольку ответ на вопрос отрицателен - он дан в самом начале ветки со ссылкой на М.И.Каргаполова и Ю.И.Мерзлякова.
Кстати Ваши разложения ошибочны.

[mrbus]

Автор, как я понял, потом перефразировал вопрос:
"Можно ли как-то подобрать все-же p и q так, чтобы оно выполнилось (не для всех a,b,c,d а для некоторых)...
Немогу понять, неужели нельзя найти такую комбинацию a,b,c,d, чтобы при перемножении получился коммутатор".
Разложения, проверьте ещё раз, безошибочны.
А я бы поставил более общий вопрос: о разрешимости уравнения [p,q]=[a,b][x,y] или, иными словами, всякий ли элемент группы является коммутатором какой-то пары.

[bot]

mrbus в сообщении #379872 писал(а):

Разложения, проверьте ещё раз, безошибочны.

Возьмём $p=(12),\ q=(13)$, тогда $[p, q]=(pq)^2\ne (qp)^2=[p^2, p^{-1}q]\cdot [p^{-1}q, p]$

[mrbus]

Опечатка.
$[p,q] = [pp,p^{-1}q] [p^{-1}q,q]$