2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверьте (дифференциальное уравнение)
Сообщение10.05.2009, 04:47 


04/04/08
481
Москва
Проверьте решение.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения $$xy'-y=x\tg^2{\frac{y}{x}}$$.

$$y=xz(x)$$
$$z=\frac{y}{x},$$ $$y'=z+xz'$$

$$x(z+xz')-xz=x\tg^2{z}$$
$$x\frac{dz}{dx}=\tg^2{z}$$
$$\int \frac{dz}{\tg^2{z}}=\int\frac{dx}{x}$$

Интегрируем:
$$I_1=\int \frac{dz}{\tg^2{z}}=\int\frac{\cos^2{z}}{\sin^2{z}}dz=\int\frac{1-\sin^2{z}}{\sin^2{z}}dz=\int \left( \frac{1}{\sin^2{z}}-1\right)dz=\int\frac{dz}{\sin^2{z}}-\int dz=-\ctg{z}-z+C_1$$
$$I_2=\int\frac{dx}{x}=\ln{|x|}+C_2$$

Получаем:
$$-\ctg{z}-z=\ln{|x|}$$
$$\ln{|x|}+z+\ctg{z}=C$$
$$\ln{|x|}+\frac{y}{x}+\ctg{\frac{y}{x}}=C$$

Ответ: $$\ln{|x|}+\frac{y}{x}+\ctg{\frac{y}{x}}=C$$.

И еще вопрос. Что на счет постоянных интегрирования $$C_i$$, я правильно их записываю. И как надо их правильно записывать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
rar в сообщении #212353 писал(а):
$$I_2=\int\frac{dx}{x}=x+C_2$$
Вы уверены, что знаете таблицу интегралов?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 15:48 


04/04/08
481
Москва
Исправил. Проверьте пожалуйста снова.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 15:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вроде правильно. Насчёт констант особо беспокоиться не стоит -- к ним в данном случае вполне можно относиться легкомысленно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 16:12 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Я последнее время пребываю в некотором ужасе, откуда столько просьб проверить решение дифура или даже просто взятие интеграла.

Всегда же можно проверить подстановкой!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 16:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ну, тут вроде запрашивалась проверка не ответа, а хода решения.

Хотя могу согласится с тем, что в нормальной ситуации просто самолюбие воспрепятствует запрашиванию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 16:31 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Хмм. Да, наверное. То есть педагогический вопрос возникает: если ответ верный, и он проверен подстановкой, но при его получении было сделано четное число ошибок - засчитывать решение или нет? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 16:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AD в сообщении #212475 писал(а):
: если ответ верный, и он проверен подстановкой, но при его получении было сделано четное число ошибок - засчитывать решение или нет?

Не засчитывать, ессно.

Тут другой любопытный педагогический вопрос возникает. Как генерировать задачи, чтобы вероятность случайной правильности ответа, полученного неверным решением, была бы ничтожно мала?...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 16:46 
Экс-модератор


17/06/06
5004
ewert в сообщении #212476 писал(а):
Как генерировать задачи, чтобы вероятность случайной правильности ответа, полученного неверным решением, была бы ничтожно мала?...
Думаю, на матанообразных такого не выйдет. Ибо самая популярная ошибка - в знаке. :roll:

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

ewert в сообщении #212476 писал(а):
Не засчитывать, ессно.
А если вместо решения будет что-то типа "решение найдено при помощи функций astral32.dll"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 16:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AD в сообщении #212478 писал(а):
А если вместо решения будет что-то типа "решение найдено при помощи функций astral32.dll"?

А тогда фтопку. Ибо нефиг. Или учиться -- или ответики получать.

(Хотя, конечно, зависит от курса. Скажем, на четвёртом курсе требовать именно ручного вычисления каких-нибудь там интегралов -- тоже нелепо.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 18:27 


04/04/08
481
Москва
AD писал(а):
Я последнее время пребываю в некотором ужасе, откуда столько просьб проверить решение дифура или даже просто взятие интеграла.

Всегда же можно проверить подстановкой!!



Да, но в моем случае, придется выражать $$y$$ через котангенсы и т.д. Т.е., сделать это будет не легко.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 18:38 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Хмм. Ну производная неявной функции - это задачка стандартная ...

Но согласен, что я не обратил на это внимания. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 18:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
rar в сообщении #212492 писал(а):
Да, но в моем случае, придется выражать

Не придётся. Ваше дело -- прокукарекать. В каком виде получилось решение, в том и получилось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
rar в сообщении #212492 писал(а):
Да, но в моем случае, придется выражать $$y$$ через котангенсы и т.д. Т.е., сделать это будет не легко.
В диф. уравнениях принять считать ответ, записанный в виде неявной функции - окончательным, преобразовывать его дальше обычно не требуется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2009, 19:04 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Brukvalub в сообщении #212498 писал(а):
В диф. уравнениях принять считать ответ, записанный в виде неявной функции - окончательным, преобразовывать его дальше обычно не требуется.
Не-не, мы тут обсуждаем, как в этом случае реализовать мое невежливое предложение проверить ответ подстановкой. :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group