Проверьте (дифференциальное уравнение)

[rar]

Проверьте решение.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

$$xy'-y=x\tg^2{\frac{y}{x}}$$

.

$$y=xz(x)$$

$$z=\frac{y}{x},$$

$$y'=z+xz'$$

$$x(z+xz')-xz=x\tg^2{z}$$

$$x\frac{dz}{dx}=\tg^2{z}$$

$$\int \frac{dz}{\tg^2{z}}=\int\frac{dx}{x}$$

Интегрируем:

$$I_1=\int \frac{dz}{\tg^2{z}}=\int\frac{\cos^2{z}}{\sin^2{z}}dz=\int\frac{1-\sin^2{z}}{\sin^2{z}}dz=\int \left( \frac{1}{\sin^2{z}}-1\right)dz=\int\frac{dz}{\sin^2{z}}-\int dz=-\ctg{z}-z+C_1$$

$$I_2=\int\frac{dx}{x}=\ln{|x|}+C_2$$

Получаем:

$$-\ctg{z}-z=\ln{|x|}$$

$$\ln{|x|}+z+\ctg{z}=C$$

$$\ln{|x|}+\frac{y}{x}+\ctg{\frac{y}{x}}=C$$

Ответ:

$$\ln{|x|}+\frac{y}{x}+\ctg{\frac{y}{x}}=C$$

.

И еще вопрос. Что на счет постоянных интегрирования

$$C_i$$

, я правильно их записываю. И как надо их правильно записывать?

[Brukvalub]

rar в сообщении #212353 писал(а):

$$I_2=\int\frac{dx}{x}=x+C_2$$

Вы уверены, что знаете таблицу интегралов?

[rar]

Исправил. Проверьте пожалуйста снова.

[ewert]

Вроде правильно. Насчёт констант особо беспокоиться не стоит -- к ним в данном случае вполне можно относиться легкомысленно.

[AD]

Я последнее время пребываю в некотором ужасе, откуда столько просьб проверить решение дифура или даже просто взятие интеграла.

Всегда же можно проверить подстановкой!!

[ewert]

ну, тут вроде запрашивалась проверка не ответа, а хода решения.

Хотя могу согласится с тем, что в нормальной ситуации просто самолюбие воспрепятствует запрашиванию.

[AD]

Хмм. Да, наверное. То есть педагогический вопрос возникает: если ответ верный, и он проверен подстановкой, но при его получении было сделано четное число ошибок - засчитывать решение или нет?

[ewert]

AD в сообщении #212475 писал(а):

: если ответ верный, и он проверен подстановкой, но при его получении было сделано четное число ошибок - засчитывать решение или нет?

Не засчитывать, ессно.

Тут другой любопытный педагогический вопрос возникает. Как генерировать задачи, чтобы вероятность случайной правильности ответа, полученного неверным решением, была бы ничтожно мала?...

[AD]

ewert в сообщении #212476 писал(а):

Как генерировать задачи, чтобы вероятность случайной правильности ответа, полученного неверным решением, была бы ничтожно мала?...

Думаю, на матанообразных такого не выйдет. Ибо самая популярная ошибка - в знаке.

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

ewert в сообщении #212476 писал(а):

Не засчитывать, ессно.

А если вместо решения будет что-то типа "решение найдено при помощи функций astral32.dll"?

[ewert]

AD в сообщении #212478 писал(а):

А если вместо решения будет что-то типа "решение найдено при помощи функций astral32.dll"?

А тогда фтопку. Ибо нефиг. Или учиться -- или ответики получать.

(Хотя, конечно, зависит от курса. Скажем, на четвёртом курсе требовать именно ручного вычисления каких-нибудь там интегралов -- тоже нелепо.)

[rar]

AD писал(а):

Я последнее время пребываю в некотором ужасе, откуда столько просьб проверить решение дифура или даже просто взятие интеграла.

Всегда же можно проверить подстановкой!!

Да, но в моем случае, придется выражать

$$y$$

через котангенсы и т.д. Т.е., сделать это будет не легко.

[AD]

Хмм. Ну производная неявной функции - это задачка стандартная ...

Но согласен, что я не обратил на это внимания.

[ewert]

rar в сообщении #212492 писал(а):

Да, но в моем случае, придется выражать

Не придётся. Ваше дело -- прокукарекать. В каком виде получилось решение, в том и получилось.

[Brukvalub]

rar в сообщении #212492 писал(а):

Да, но в моем случае, придется выражать

$$y$$

через котангенсы и т.д. Т.е., сделать это будет не легко.

В диф. уравнениях принять считать ответ, записанный в виде неявной функции - окончательным, преобразовывать его дальше обычно не требуется.

[AD]

Brukvalub в сообщении #212498 писал(а):

В диф. уравнениях принять считать ответ, записанный в виде неявной функции - окончательным, преобразовывать его дальше обычно не требуется.

Не-не, мы тут обсуждаем, как в этом случае реализовать мое невежливое предложение проверить ответ подстановкой.