О "последнем" утверждении П. Ферма

[ljubarcev]

Someone писал(а): "И совершенно ничего интересного для доказательства теоремы Ферма из этого не следует".

Рассмотрим частный случай ВТФ при $n=4$.
Для любого чисела $z$ справедлив тождество:
$(z+1)^2-(z-1)^2=4z$ (1) . Ясно, что если $z$ само не является числом в четной степени , то разность квадратов в левой части
равенства не является квадратом, так как $4z$ не квадрат.
Для того же $z$ справедливо тождество:
$(z+1)^2+(z-1)^2=2(z^2+1)$ (2).
Перемножим левые и правые части равенств (1) и (2) и получим:

$$(z+1)^4-(z-1)^4=8z(z^2+1)$$

(3). Очевидно, что правая часть равенства (3) не может быть не только четвёртой степенью, но даже квадратом. Отсюда делаем вывод, что разность четвёртых степеней двух чисел не может быть четвёртой степенью третьего числа. Так как рассматриваются все числа не являющиеся квадратами, то, естественно, это все справедливо и для чисел в любой степени $k$ при $k$ постом не четном. Следовательно,
«последнее» утверждение Ферма верно для любого $n$ кратного $4$.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

"И совершенно ничего интересного для доказательства теоремы Ферма из этого не следует".

Рассмотрим частный случай ВТФ при $n=4$.
...

$$(z+1)^4-(z-1)^4=8z(z^2+1)$$

(3). Очевидно, что правая часть равенства (3) не может быть не только четвёртой степенью, но даже квадратом.

Ну и что?

ljubarcev писал(а):

Отсюда делаем вывод, что разность четвёртых степеней двух чисел не может быть четвёртой степенью третьего числа.

Каких "двух чисел"?

ljubarcev писал(а):

...
Следовательно, «последнее» утверждение Ферма верно для любого $n$ кратного $4$.

Если считать, что для $n=4$ теорема доказана, то для любого $n=4k$, $k>1$ натуральное, теорема также справедлива, причём, по тривиальной причине: равенство $a^{4k}+b^{4k}=c^{4k}$ можно переписать в виде $(a^k)^4+(b^k)^4=(c^k)^4$; обозначая $A=a^k$, $B=b^k$, $C=c^k$, получим невозможное (по предположению) равенство $A^4+B^4=C^4$ (если числа $a$, $b$, $c$ натуральные, то $A$, $B$, $C$, естественно, тоже натуральные).

Если же Вы претендуете на то, что заново доказали теорему Ферма для $n=4$ своим способом, то Вы заблуждаетесь. И процитированное Вами моё утверждение (вырванное, кстати, из контекста и потому непонятное) остаётся в силе. Ничего интересного для доказательства теоремы Ферма из Ваших рассуждений не следует.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

Если считать, что для $n=4$ теорема доказана, то для любого $n=4k$, $k>1$ натуральное, теорема также справедлива, причём, по тривиальной причине: равенство $a^{4k}+b^{4k}=c^{4k}$ можно переписать в виде $(a^k)^4+(b^k)^4=(c^k)^4$; обозначая $A=a^k$, $B=b^k$, $C=c^k$, получим невозможное (по предположению) равенство $A^4+B^4=C^4$ (если числа $a$, $b$, $c$ натуральные, то $A$, $B$, $C$, естественно, тоже натуральные).

Если же Вы претендуете на то, что заново доказали теорему Ферма для $n=4$ своим способом, то Вы заблуждаетесь. И процитированное Вами моё утверждение (вырванное, кстати, из контекста и потому непонятное) остаётся в силе. Ничего интересного для доказательства теоремы Ферма из Ваших рассуждений не следует.[/quote]

Какие могут быть претензии. Ведь это форум.
Это просто попытка показать, что
рассуждения о треугольниках имеют непосредственное отношение
к теореме Ферма. Возьмем к примеру приведенное в одной из тем
на форуме Sceptic..ом верное утверждение:" Если $a^2+b^2=c^2$, то
имеет место $(ab)^4+(ac)^4+(bc)^4=(c^4-a^2b^2)^2$, в чем легко
убедиться. Т.е. каждая пифагорова тройка порождает решение уравнения $X^4+Y^4+Z^4=u^2$". Но ведь очевидно, что если бы он не был скептиком и сделал следующий шаг, то получил бы доказательство ВТФ для $n=4$. Действительно, если из левой и правой частей уравнения вычесть число $2Z^4$, то получим:
$X^4+Y^4-Z^4=u^2-2Z^4$. Откуда очевидно, что если бы существовала
тройка целых чисел, таких что $X^4+Y^4-Z^4=0$, то должно было бы быть$u^2=2Z^4$ и $u=Z^2\sqrt 2$, Но $u$ при $a^2+b^2=c^2$ всегда целое, значит $Z$ при
$X^4+Y^4-Z^4=0$ не целое и последнее уравнение не имеет решений в целых числах.
Дед.

[juna]

Этим Вы всего лишь доказали, что если $a^2+b^2=c^2$, то равенство $(ab)^4+(ac)^4=(bc)^4$ (или аналогичных - в зависимости от того, что в качестве $Z$ возьмете) невозможно.
Но это очевидно само по себе - $bc$ не делится на $a$, если выполняется их взаимная простота.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

... Откуда очевидно, что если бы существовала
тройка целых чисел, таких что $X^4+Y^4-Z^4=0$, то должно было бы быть$u^2=2Z^4$ и $u=Z^2\sqrt 2$, Но $u$ при $a^2+b^2=c^2$ всегда целое, значит $Z$ при
$X^4+Y^4-Z^4=0$ не целое и последнее уравнение не имеет решений в целых числах.

Вот тут Вы врёте. На самом деле Вы доказываете следующее утверждение: если $a$, $b$, $c$ - пифагорова тройка чисел, то она не может удовлетворять условию $(ab)^4+(ac)^4=(bc)^4$. Ну и пусть себе не удовлетворяет. Какое это имеет отношение к теореме Ферма?

[ljubarcev]

Ю.Н. Артамонов! Проблема как раз в том и заключается, что видеть ОЧЕВИДНОЕ
способны далеко не все. В связи с этим вспоминается имевшая широкое хождение среди советских изобретателей и рационализаторов сентенция:
«В первый момент ВСЕГДА очевидна глупость автора и его предложения». Правда, это только первая треть присказки.
Теперь по сути задачи.
Если имеет место при взаимно простых $x, y, z$ равенство $x^4+y^4=z^4$, то числа $x^2, y^2, z^2$ составляют пифагорову тройку. Ведь равенство $x^4+y^4=z^4$ является частным случаем уравнения $a^2+b^2=c^2$, когда
числа $a, b, c$ сами являются квадратами. Значит Все решения уравнения $x^4+y^4=z^4$ находятся по известным формулам: $x^2=2uv$, $y^2=u^2-v^2$,
$z^2=u^2+v^2$. Дальше рассуждаем так.
Из равенств $y^2=u^2-v^2$, $z^2=u^2+v^2$ очевидно, что целые числа $u$ и$v$, должны быть катетами прямоугольных треугольников. В то же время должно быть $x^2=2uv$. Но число $2uv$ , равное учетверенной площади прямоугольного треугольника с целыми катетами $u$ и $v$ не может быть квадратом. Это доказал ещё сам П. Ферма. Следовательно, число $x=\sqrt{2uv}$ не целое, то есть уравнение $x^4+y^4=z^4$ не имеет решений в целых числах.
Дед.

[Руст]

ljubarcev писал(а):

числа $a, b, c$ сами являются квадратами. Значит Все решения уравнения $x^4+y^4=z^4$ находятся по известным формулам: $x^2=2uv$, $y^2=u^2-v^2$,
$z^2=u^2+v^2$. Дальше рассуждаем так.
Из равенств $y^2=u^2-v^2$, $z^2=u^2+v^2$ очевидно, что целые числа $u$ и$v$, должны быть катетами прямоугольных треугольников. В то же время должно быть $x^2=2uv$. Но число $2uv$ , равное учетверенной площади прямоугольного треугольника с целыми катетами $u$ и $v$ не может быть квадратом. Это доказал ещё сам П. Ферма. Следовательно, число $x=\sqrt{2uv}$ не целое, то есть уравнение $x^4+y^4=z^4$ не имеет решений в целых числах.
Дед.

Во первых Ферма сделал заключение назад, а именно
Следовательно уравнение $x^4+y^4=z^2$ не имеет нетривиальных решений в целых числах, а следовательно площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами не является квадратом.
Во вторых не всегда стороны прямоугольника треугольника выражаются вашими формулами, пример стороны (9,12,15).

[juna]

Если Вы предполагаете, что не существует прямоугольного треугольника в целых числах, площадь которого равна квадрату, случай ВТФ для $n=4$ - его очевидное следствие.

[Руст]

А вы умеете доказать первое без второго? Я нет. Поэтому, я и говорил, что Ферма получил первое от второго, а не наоборот.

[juna]

Так и я о том же. Ферма пытался доказать, что не существует прямоугольного треугольника в целых числах, площадь которого равна квадрату. Это привело его к необходимости доказать невозможность $x^4+y^4=z^2$. Он это сделал методом бесконечного спуска. Поэтому если априори утверждать, что не существует прямоугольного треугольника в целых числах, площадь которого равна квадрату, то можно получить очевидное следствие о невозможности $x^4+y^4=z^2$ - это эквивалентные друг другу утверждения.

[ljubarcev]

Руст писал(а):
{guote]Во первых Ферма сделал заключение назад, а именно
Следовательно уравнение $x^4+y^4=z^2$ не имеет нетривиальных решений в целых числах, а следовательно площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами не является квадратом.
Во вторых не всегда стороны прямоугольника треугольника выражаются вашими формулами, пример стороны (9,12,15).[/quote]

Во первых известно только одно доказательство П.Ферма, которое
цитирует Эдвардс в книге "Великая теорема Ферма". Это
доказательство того факта, что "площадь целочисленного прямоугольного треугольника не может быть квадратом". Других
публикаций П, Ферма не было. В той же книге Эдвардс приводит
доказательство методом бесконечного спуска отсутствия в целых числах решений уравнения $x^4+y^4=z^4$, заканчивая его утверждением, что "Ферма несомненно его знал". Но это не факт.
Во вторых, все решения действительно находятся по приведенным формулам. Доказательство этого - в упомянутой ранее Ю.Н.Артамоновым книге и в др. Вы просто упустили из виду тот факт, что при рассмотрении ВТФ достаточно рассмотреть взаимно простые числа $x, y, z$. так как остальные случаи всегда сводятся к этому.
В третьих, разговор о ВТФ при $n=4$ заведен только для того, что
бы показать, что рассмотрение целочисленных треугольников имеет самое прямое отношение к доказательству ВТф, против чего упорно возражает Someone.
Дед.

[ljubarcev]

Давно доказано (и это совсем не трудно), что если уравнение вида $X^k+Y^k=Z^k$ имеет решения в целых числах, то должны существовать решения в целых числах уравнения $x^n+y^n=z^n$, где $n$- целое простое число, а $x, y, z$ взаимно простые целые числа.
1.Допустим, что в целых числах имеет место равенство $x^n+y^n=z^n$ (1) при $n$ -целом простом и $x, y, z$ взаимно простых и $x<y<z$. Тогда :
$y^n=z^n-x^n=(z-x)(z^{n-1}+z^{n-2}x+\cdots+zx^{n-2}+ x^{n-1})=(z-x)A$ (2). Всегда $y$ можно представить в виде $y=g(z-x)+a$, где $g$ – целое число, $a$ - целый остаток при делении $y$ на $z-x$ . Всегда число $a$ меньше $z-x$ и взаимно просто с ним.
После подстановки $y=g(z-x)+a$ в (2) и возведения в степень получаем:

$$g^n(z-x)^n+ng^{n-1}(z-x)^{n-1}a+C^2_ng^{n-2}(z-x)^{n-2}a^2 +\cdots+C^2_ng^2(z-x)^2a^{n-2}+ng(z-x)a^{n-1}+a^n=(z-x)A$$

и после деления всего равенства на $z-x$ получим:

$$g^n(z-x)^{n-1}+ng^{n-1}(z-x)^{n-2}a+C^2_ng^{n-2}(z-x)^{n-3}a^2+\cdots+ C^2_ng^2(z-x)a^{n-2}+nga^{n-1}+\frac{a^n}{z-x}=A$$

.

В последнем равенстве все слагаемые кроме одного– целые числа, следовательно, что бы равенство имело место в целых числах, необходимо что бы и дробь $\frac{a^n}{z-x}$ была целым числом. Так как $(z-x)>1$ и $a$ и $z-x$ взаимно просты, очевидно, что
$\frac{a^n}{z-x}$ будет целым только и только при $a=0$.
Таким образом приходим к выводу: что бы равенство $x^n+y^n=z^n$ имело решения в целых числах необходимо, что бы число $y$ делилось на число $z-x$, то есть должно быть $y=g(z-x)$.
2. Теперь возьмем $y=g(z-x)$, и подставим в исходное равенство, представив число $z$ в виде $z=(z-x)+x$ .
Получаем:

$$g^n(z-x)^n=(z-x)^n+n(z-x)^{n-1}x+C^2_n(z-x)^{n-2}x^2+ \cdots+C^2_n(z-x)^2x^{n-2}+n(z-x)x^{n-1}+x^n-x^n$$

.
С учетом того, что $x^n-x^n=0$, после деления всего равенства на число $(z-x)^2$ получаем, что должно иметь решения в целых числах равенство

$$g^n(z-x)^{n-2}=(z-x)^{n-2}+n(z-x)^{n-3}x+ C^2_n(z-x)^{n-4}x^2+ \cdots+C^2_nx^{n-2}+\frac{nx^{n-1}}{z-x}$$

.

В последнем выражении все слагаемые кроме последнего целые
числа. Что бы равенство имело место в целых числах необходимо,
что бы дробь $\frac{nx^{n-1}}{z-x}$ была целым числом.
Так как числа $x$ и $z-x$ взаимно просты и $z-x$ не равно 1, то дробь будет целым числом тогда и только тогда, когда $z-x=n$.
3. В соответствии с малой теоремой Ферма для любых чисел
$x, y, z$ справедливо $x^n-x=2nA$, $y^n-y=2nB$, $z^n-z=2nC$.
Сложив два первых и вычтя третье из равенств, с учетом того, что в нашем случае $x^n+y^n-z^n=0$ получим, что тройка чисел $x, y, z$
должна удовлетворять условию $x+y-z=2n(C-B-A)=2nt$: $t$- целое число, то есть должно быть $y=z-x+nt$.
Выше доказано, что должно быть и $z-x=n$, поэтому должно быть
$y=z-x+nt=n+nt=n(t+1)$, то есть число $y$ должно делиться на $n$.
Этим доказано, что если имеет место равенство $x^n+y^n=z^n$, то
одно из чисел удовлетворяющей ему тройки $x, y, z$ должно делиться на $n$. Таким образом доказано, что в так называемом первом случае теоремы, когда ни одно из чисел тройки не делится на $n$, утверждение П.Ферма верно.
4. Выше доказано: что бы имело место равенство $x^n+y^n=z^n$,
должно быть $y=g(z-x)$, $z-x=n$, то есть $y=ng$. Так как любое $z$ представимо в виде $z=(z-x)+x$, то в нашем случае при $z-x=n$ должно быть $z=n+x$. Исходное равенство $y^n=z^n-x^n$ принимает вид:
$n^ng^n=(n+x)^n-x^n$. После возведения в степень получаем равенство

$$n^ng^n=n^n+ nn^{n-1}x+C_n^2n^{n-2}x^2+\cdots+ C_n^{n-2}n^2x^{n-2}+nnx^{n-1}+x^n-x^n$$

.

С учётом того, что $x^n-x^n=0$ после деления всего равенства на
$n^3$ получаем:

$$n^{n-3}g^n=n^{n-3}+n^{n-4}x+C_n^2n^{n-5}x^2+\cdots+ x^{n-2}\frac{C_n^{n-2}}{n}}+\frac{x^{n-1}}{n}$$

(3).

В последнем равенстве все слагаемые кроме последнего целые числа, так как при не четном $n$ $C_n^{n-2}$ всегда делится на $n$. Последнее слагаемое - дробь $\frac{x^{n-1}}{n}$ целым быть не может, так как $n$ является простым делителем $y$, а числа $x$ и $y$ взаимно просты по предположению. Следовательно равенство (3) эквивалентное исходному равенству $x^n+y^n=z^n$ невозможно в целых числах. Таким образом доказано, что и в так называемом втором случае теоремы Ферма, когда одно из чисел тройки делится на $n$, утверждение П.Ферма верно. Так как других случаев нет, то это и всё.
Дед.

[Руст]

ljubarcev писал(а):

Тогда :
$y^n=z^n-x^n=(z-x)(z^{n-1}+z^{n-2}x+\cdots+zx^{n-2}+ x^{n-1})=(z-x)A$ (2). Всегда $y$ можно представить в виде $y=g(z-x)+a$, где $g$ – целое число, $a$ - целый остаток при делении $y$ на $z-x$ . Всегда число $a$ меньше $z-x$ и взаимно просто с ним.
Дед.

С чего взяли, что а и z-x взаимно просты. Например n=2 (n>2 не могу привести потому, что уже доказано, таких решений нет) y=4,x=3,z=5 числа y и z-x не взаимно просты. Дальше бессмысленно читать.

[ljubarcev]

Ответ Русту и на последующие замечания в теме
"ВТФ при $n=3$. Предложенного доказательства для $n=3$ достаточно доказательства при любом $n$ не четном.
Дед.

[Руст]

Для простого n, элементарно никак не следует, что (z-x,y)=1, а получается, только что это степень простого числа n. Соответственно при n=2 это было 2. Прежде, чем мусорить форум, почитайте хорошую книгу на эту тему, "Рибенбойм. Последняя теорема Ферма". Она написана элементарно, доступно даже младшекурсникам.