Сумма квадратов k первых натуральных чисел

[EtCetera]

Такие суммы неплохо считаются еще одним способом - с помощью преобразования Абеля (аналога формулы интегрирования по частям для дискретных сумм). С его помощью, по-моему, даже можно вывести рекуррентные формулы для коэффициентов полинома степени $k+1$ через коэффициенты полинома степени $k$.

[AndreyXYZ]

Мне говорили, что это доказал Эйлер, но не могу найти подтверждения.



// Сообщение Архипова, последовавшее за этим сообщением, перемещено в Карантин. / GAA

[voipp]

многочлен в теореме можно взять от значения $(n+1) \ : \ P(n+1) $

[Deggial]

voipp, замечание за малосодержательный некропост в архивную тему. Обращайте внимание на дату сообщений.

[kthxbye]

У меня тоже будет некропост, но допустим, что более содержательный и возможно многих заинтересует.

Недавно заинтересовался выводом формулы для нахождения объема пирамиды $(1/3SH)$ и нашел один очень интересный метод, в котором используется последовательная сумма квадратов чисел от 1 до n; там же очень оригинальный вывод формулы для этой суммы. Начинается все с того, что они заново доказывают Гаусса по такому методу:

$(n+1)^2 = 1^2 + 2S_{1>n} + n,$

$n^2 + 2n + 1 = 1 + 2S_{1>n} + n,$

$n^2 + n = 2S_{n>1}, S_{1>n} = (n^2 + n)/ 2 = n(n+1) /2,$ где $S_{1>n}$ сумма чисел от 1 до n.

Далее для суммы квадратов:

$(n+1)^3 = 1^3 + 3S_{1^2>n^2} + 3S_{n>1} + n,$

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 1 + 3S_{1^2>n^2} + 3S_{1>n} + n,$

$3S_{1^2>n^2} = n^3 + 3n^2 + 2n - 3n(n+1)/2 = (2n^3 + 3n^2 + n)/2, S_{1^2>n^2} =$

$(2n^3 + 3n^2 + n)/6 = n(2n^2 + 3n + 1)/6 = n(2n + 1)(n + 1)/6.$

Т.е. для суммы от $1^m$ до $n^m$, $(n+1)^{m+1} = n^{m+1} + an^m + bn^{m-1} + ... + cn^2 + dn + 1 = $

$1^{m+1} + S_{1^m>n^m} + S_{1^{m-1}>1^{m-1}} + ... + S_{1^2>n^2} + S_{1>n} + n.$

Теперь, собственно, в чем загвоздка. Метод применим только до суммы кубов, дальше никак.

$(n+1)^4 = 1^4 + 4S_{1^3>n^3} + 6S_{1^2>n^2} + 4S_{1>n} + n,$

$n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 = 1 + 4S{1^3>n^3} + 6S_{1^2>n^2} + 4S_{1>n} + n,$

$4S_{1^3>n^3} = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 3n - 6(2n^3 + 3n^2 + n)/6 - 4(n^2 + n)/2 =$

$(n^4 + 2n^3 + n^2)/2 = n^2(n+1)^2;$

[Deggial]

Пост перемещён в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

kthxbye
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда пост будет возвращён.

Пост возвращён.

kthxbye в сообщении #791488 писал(а):

$S_{1>n}$ сумма чисел от 1 до n.

Синтаксис $\TeX$а позволяет писать такое: \sum\limits_{k=a}^b f(k) - $\sum\limits_{k=a}^b f(k)$. Пользуйтесь.
Дроби удобно набирать через \frac{A}{B}: $\frac{A}{B}$.