Квантовая механика. Доказательство теоремы Эренфеста

[motoden]

Доброго времени суток, уважаемые эксперты!
Вопросы по выводу доказательства теоремы Эренфеста(которую можно найти на 39-ой странице учебника "квантовая механика" Шиффа).
1) Вот отрывок из доказательства:
"...второе слагаемое здесь можно проинтегрировать по частям:

$$\int (grad^2(\psi^*))x\psi d\tau = -\int(grad(\psi^*))grad(x\psi)d\tau + \int_{A} (x\psi grad(\psi^*))_n dA$$

Поскольку на больших расстояниях функция \psi , характеризующая волновой пакет, обращается в нуль, то равен нулю и интеграл от составляющей вектора $x\psi grad(\psi^*)$ по нормали к элементу бесконечно удалённой граничной поверхности А. Вторично интегрируя по частям (и вновь замечая, что поверхностный интеграл равен нулю), получаем:

$$\int (grad^2(\psi^*))x\psi d\tau = \int (\psi^*) grad^2(x\psi)d\tau$$

"

Везде где было $\psi^*$ - имелось ввиду пси комплексно сопряженное.
Непонятно собственно то каким-таким образом здесь делается интегрирование по частям.
В теории:

$$\int U dv = UV - \int V du$$

Что в нашем случае является V и U? Напишите, пожалуйста, как можно подробней.
И ещё очень смутно воспинимается обоснование равенства нулю второго интеграла в правой части первой формулы. Не могли бы вы какими-нибудь другими словами объяснить? Кроме того из теории вытекает, что интеграла там быть не должно, а должно быть лишь произведение UV

2)
Вот такие преобразования(с 40-ой страницы того же учебника):
"

$$-\int \psi^*\frac{\partial}{\partial x}(- grad^2(\psi)+V\psi)d\tau +\int (-grad^2(\psi^*)+V\psi^*)\frac{\partial }{\partial x}\psi d\tau = - \int (\psi^*) [\frac{\partial }{\partial x}(V\psi) - V \frac{\partial }{\partial x}\psi]d\tau$$

"

Почему слагаемые с градиентами сокращаются?

[Парджеттер]

Парджеттер:

Формулы очень криво набраны. Поэтому тема пока едет из "Помогите решить/разобраться (Ф)" в "Карантин". Подправьте формулы и сообщите об исправлениях в этой теме. Также рекомендую почитать тему "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться"..

[Jnrty]

motoden, немного подскажу, несмотря на хамство.
1) Знаки доллара в формуле должны встречаться ровно два раза: в самом начале и в самом конце (

$$\int UdV= UV-\int Vdu$$

). Внутри формулы их быть не должно.

$$\int UdV= UV-\int Vdu$$

2) Подозреваю, что $\psi*$ - это на самом деле $\psi^*$: \psi^*.
3) Если уж говорить об "эстетстве", то градиент лучше набирать как $\mathop{\mathrm{grad}}\psi$: \mathop{\mathrm{grad}}\psi.

Правила записи формул достаточно подробно описаны в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

[Парджеттер]

Парджеттер:

Возвращаю.

[Утундрий]

\[ \nabla ^2 \psi ^* x\psi = \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \psi ^* x\psi ) - \vec \nabla \psi ^* \cdot \vec \nabla (x\psi ) = \vec \nabla \cdot \{ \vec \nabla \psi ^* x\psi - \psi ^* \vec \nabla (x\psi )\} + \psi ^* \nabla ^2 (x\psi ) \]

протаскиваем наблу слева направо.

А "слагаемые с градиентами" не сокращаются, они попросту не важны, так как в силу граничных условий обнуляются на бесконечно удаленной поверхности, охватывающей рассматриваемый 3-объем.

P.S. Вообще-то, правильнее говорить "дивергентные слагаемые", а не "с градиентами"