Очень маленькая функция.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Да и исходная задача решается вообще без всякой науки: все $E_n$ дискретны, поэтому не более чем счётны (на самом деле конечны, поскольку они ещё и нигде не плотны, но нам это не нужно).

Ага, мне тоже это в голову пришло сразу же.

Такое обобщение предлагаю. Пусть $F$ --- функционал (не обязательно линейный или непрерывный) из $C[0,1]$ в $C[0,1]$, такой что $\lim_{f \to f_0} F(f) = \mathbf{0}$, где $f_0$ --- произвольный элемент $C[0,1]$, $\mathbf{0}$ обозначает нулевую функцию из $C[0,1]$ а предел берётся по проколотым окрестностям $f_0$ и по сильной норме $\| f \| = \sup \{ f(x) : x \in [0,1] \}$. Верно ли, что найдётся $f \in C[0,1]$, для которой $F(f) = \mathbf{0}$? Если да, то останется ли это верным при замене $C[0,1]$ на множество всех ограниченных функций из $[0,1]$ в $\mathbb{R}$? Или при замене $\| \cdot \|$ на более слабую норму?

[AD]

RIP в сообщении #191366 писал(а):

а почти всюду на $E_n$ этот предел равен 2.

Да, верно. Я немного длиннее решал
Это у нас "теорема" о точках плотности, а она доказывается через дифференцирование неопределенного интеграла Лебега, а дифференцируемость, в частности, обычно доказывается через теорему Витали, о которой думал id.

[Moonrise]

Ребята, ну вы извращенцы! Исходную задачу действительно с лёгкостью решит любой первокурсник.
От противного: пусть $\forall x \in [0,1] \: f(x) \neq 0$. Тогда, т.к. [0,1] - компакт, $\min |f(x)| = \alpha > 0$, а значит для всех x, если $\lim\limits_{t \to x} f(t)$ и существует, то он точно не попадает в $(-\alpha, \alpha)$

[Профессор Снэйп]

Moonrise писал(а):

Ребята, ну вы извращенцы! Исходную задачу действительно с лёгкостью решит любой первокурсник.
От противного: пусть $\forall x \in [0,1] \: f(x) \neq 0$. Тогда, т.к. [0,1] - компакт, $\min |f(x)| = \alpha > 0$, а значит для всех x, если $\lim\limits_{t \to x} f(t)$ и существует, то он точно не попадает в $(-\alpha, \alpha)$

Сам извращенец! Для вывода $\min |f(x)| = \alpha > 0$ требуется непрерывность $f$, которая в условии не предполагается.

[ДДмитрий]

Кстати, возможно обобщение на некомпактные множества определения функции $D_f \subset X$, лишь бы $D_f$ было несчетным и топологическое пространство $X$ обладало второй аксиомой счетности (таким будем, например, $\mathbb R$). Для доказательства нужно повторить рассуждение worm2 только вместо леммы Гейне-Бореля надо использовать теорему Линделеф.

[Лиля]

AD в сообщении #191131 писал(а):

А теперь - нет ли желающих обобщить результат на любые топологические пространства (в роли областей определения)?

мне кажеться что для произвольных топологических пространств это не верно ведь там функция может сходиться ко множеству точек например ко всей $R$ и не где не быть равной $0$

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

в прочем наверно уже сама запись $\lim\limits_{t\to x}f(t)=0$ предполагает именно метрическое пространство