RIP писал(а):
Да и исходная задача решается вообще без всякой науки: все

дискретны, поэтому не более чем счётны (на самом деле конечны, поскольку они ещё и нигде не плотны, но нам это не нужно).
Ага, мне тоже это в голову пришло сразу же.
Такое обобщение предлагаю. Пусть

--- функционал (не обязательно линейный или непрерывный) из
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
в
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
, такой что

, где

--- произвольный элемент
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
,

обозначает нулевую функцию из
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
а предел берётся по проколотым окрестностям

и по сильной норме
![$\| f \| = \sup \{ f(x) : x \in [0,1] \}$ $\| f \| = \sup \{ f(x) : x \in [0,1] \}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/b/f2bd173bb2781e55905e28ffe1fe8b7c82.png)
. Верно ли, что найдётся
![$f \in C[0,1]$ $f \in C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/1/8d1cb9cd9fa0c6ef7660767a99a3833282.png)
, для которой

? Если да, то останется ли это верным при замене
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
на множество всех ограниченных функций из
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
в

? Или при замене

на более слабую норму?