Найти наименьшее значение функции

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Интересно, откуда. Ощущение, конечно, верное, как легко проверить, но мне оно не кажется очевидным.

Ха! Если б было очевидно, я бы всё тут же и расписал не задумываясь. А так... просто ощущение, шестое чувство, интуиция

[Полосин]

Мат, в данной задаче минимум - это число. Оно не может зависеть от коэффициентов, неизвестных и пр.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #207928 писал(а):

просто ощущение, шестое чувство, интуиция

Завидую я Вашей интуиции. Я, пока не расписал, не увидел. Благо, решается в 1 строчку --- просто неравенство между (взвешенными) квадратичным и арифметическим средними (или нер-во Коши-Буняковского-Шварца, кому как нравится).

[Мат]

Полосин
Давайте изменим условие:
$d\geqslant c\geqslant b\geqslant a\geqslant 0$

$$a+b+c+d = 1$$

$$7a^2+4b^2+3c^2+d^2 = ?$$

Найти наибольшее значение.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #207926 писал(а):

А давайте для простоты снизим число переменных.

а давайте.

Берём $y\geqslant x,\ x+y=1.$ Целевая функция $1000000x^2+y^2$ достигает минимума в точке (0,1), но не в (1/2,1/2). Функция же $x^2+1000000y^2$ -- в точке (1/2,1/2), но не в (0,1).

Тут не интуитивно размахивать руками надобно, а тупо считать.

[gris]

$a\geqslant b\geqslant 0$

$$a+b = 1$$

$$min\big((a-3/4)^2+(b-1/4)^2\big)=0$$

в точке $(3/4;1/4)$

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Берём $y\geqslant x,\ x+y=1.$ Целевая функция $1000000x^2+y^2$ достигает минимума в точке (0,1), но не в (1/2,1/2).
...
Тут не интуитивно размахивать руками надобно, а тупо считать.

У Вас не та переменная больше, при которой коэффициент больше, а другая.

Вообще, я что-то не понимаю. Расчёты подтвердили, что я был прав, а Вы нет. Вот когда поймаете меня на ошибке, тогда и будете учить, что мне надо делать, а что не надо!

[RIP]

ewert в сообщении #207941 писал(а):

Тут не интуитивно размахивать руками надобно, а тупо считать.

Ну зачем же тупо? В нашем примере коэффициенты ведут себя хорошо (большей переменной соответствует больший коэффициент), поэтому минимум достигается тогда, когда все переменные равны, и ничего считать не надо вообще. Наверняка какое-то классическое нер-во.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Завидую я Вашей интуиции. Я, пока не расписал, не увидел.

Ну, было какое-то такое ощущение, что маленькие переменные стоят с маленькими коэффициентами, а большие --- с большими, и если мы хотим достигать минимума, надо маленькие переменные делать как можно больше, а большие как можно меньше. Функция, да, не симметрична, но перекос у неё именно в ту сторону, которая нам только помогает, а не мешает. Вот из каких-то таких соображений была высказана гипотеза.

[ASA]

KAS136 писал(а):

Помогите разобраться с примером
$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$

$$a+b+c+d = 1$$

$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2 = ?$$

Надо найти наименьшее значение

Профессор Снэйп писал(а):

У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при $a=b=c=d=1/4$.

RIP писал(а):

Интересно, откуда. Ощущение, конечно, верное, как легко проверить, но мне оно не кажется очевидным.

Зачем здесь интуиция. Элементарный расчет. Если предположить, что минимум достигается в точке $(a^\ast,b^\ast,c^\ast,d^\ast)$ и при этом, скажем, $a^\ast>b^\ast$, то сразу получаем противоречие: легко показать, что при достаточно малых $\varepsilon>0$ значение целевой функции в точке $(a^\ast-\varepsilon,b^\ast+\varepsilon,c^\ast,d^\ast)$ меньше значения в точке $(a^\ast,b^\ast,c^\ast,d^\ast)$. И здесь важно, что коэффициент при $a^2$ больше коэффициента при $b^2$. Значит, $a^\ast=b^\ast=c^\ast=d^\ast=1/4$.

Добавлено спустя 12 минут 20 секунд:

Ага. Почитал внимательно пост и увидел подобные рассуждения
Профессора Снэйпа.

[KAS136]

огромное спасибо!!!!!!!!!!!!!1

[LetsGOX]

Как мне каежтся, решение 1/4 было бы верно, если бы надо было найти минимум выражения $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, а у нас же тут различные коэффиценты

[RIP]

LetsGOX в сообщении #208033 писал(а):

Как мне каежтся, решение 1/4 было бы верно, если бы надо было найти минимум выражения $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, а у нас же тут различные коэффиценты

Но на переменные наложено дополнительное условие $a\ge b\ge c\ge d\ge0$.

[Мат]

Предлагаю при $d$ поставить коэффициент $80$:
$7a^2+5b^2+3c^2+80d^2$ минимальна.

[KAS136]

Т. е. мы рассматриваем убывающую функцию?