2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:33 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
Интересно, откуда. Ощущение, конечно, верное, как легко проверить, но мне оно не кажется очевидным.


Ха! Если б было очевидно, я бы всё тут же и расписал не задумываясь. А так... просто ощущение, шестое чувство, интуиция :)

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:35 
Мат, в данной задаче минимум - это число. Оно не может зависеть от коэффициентов, неизвестных и пр.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:43 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #207928 писал(а):
просто ощущение, шестое чувство, интуиция

Завидую я Вашей интуиции. Я, пока не расписал, не увидел. Благо, решается в 1 строчку --- просто неравенство между (взвешенными) квадратичным и арифметическим средними (или нер-во Коши-Буняковского-Шварца, кому как нравится).

 
 
 
 Re: Степени
Сообщение24.04.2009, 21:52 
Аватара пользователя
Полосин
Давайте изменим условие:
$d\geqslant c\geqslant b\geqslant a\geqslant 0$
$$a+b+c+d = 1$$
$$7a^2+4b^2+3c^2+d^2 = ?$$
Найти наибольшее значение.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 22:02 
Профессор Снэйп в сообщении #207926 писал(а):
А давайте для простоты снизим число переменных.

а давайте.

Берём $y\geqslant x,\ x+y=1.$ Целевая функция $1000000x^2+y^2$ достигает минимума в точке (0,1), но не в (1/2,1/2). Функция же $x^2+1000000y^2$ -- в точке (1/2,1/2), но не в (0,1).

Тут не интуитивно размахивать руками надобно, а тупо считать.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 22:05 
Аватара пользователя
$a\geqslant b\geqslant 0$
$$a+b = 1$$
$$min\big((a-3/4)^2+(b-1/4)^2\big)=0$$ в точке $(3/4;1/4)$

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 22:13 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Берём $y\geqslant x,\ x+y=1.$ Целевая функция $1000000x^2+y^2$ достигает минимума в точке (0,1), но не в (1/2,1/2).
...
Тут не интуитивно размахивать руками надобно, а тупо считать.


У Вас не та переменная больше, при которой коэффициент больше, а другая.

Вообще, я что-то не понимаю. Расчёты подтвердили, что я был прав, а Вы нет. Вот когда поймаете меня на ошибке, тогда и будете учить, что мне надо делать, а что не надо!

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 22:14 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #207941 писал(а):
Тут не интуитивно размахивать руками надобно, а тупо считать.

Ну зачем же тупо? В нашем примере коэффициенты ведут себя хорошо (большей переменной соответствует больший коэффициент), поэтому минимум достигается тогда, когда все переменные равны, и ничего считать не надо вообще. Наверняка какое-то классическое нер-во.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 22:18 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
Завидую я Вашей интуиции. Я, пока не расписал, не увидел.


Ну, было какое-то такое ощущение, что маленькие переменные стоят с маленькими коэффициентами, а большие --- с большими, и если мы хотим достигать минимума, надо маленькие переменные делать как можно больше, а большие как можно меньше. Функция, да, не симметрична, но перекос у неё именно в ту сторону, которая нам только помогает, а не мешает. Вот из каких-то таких соображений была высказана гипотеза.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 23:18 
KAS136 писал(а):
Помогите разобраться с примером
$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$
$$a+b+c+d = 1$$
$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2 = ?$$
Надо найти наименьшее значение

Профессор Снэйп писал(а):
У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при $a=b=c=d=1/4$.

RIP писал(а):
Интересно, откуда. Ощущение, конечно, верное, как легко проверить, но мне оно не кажется очевидным.

Зачем здесь интуиция. Элементарный расчет. Если предположить, что минимум достигается в точке $(a^\ast,b^\ast,c^\ast,d^\ast)$ и при этом, скажем, $a^\ast>b^\ast$, то сразу получаем противоречие: легко показать, что при достаточно малых $\varepsilon>0$ значение целевой функции в точке $(a^\ast-\varepsilon,b^\ast+\varepsilon,c^\ast,d^\ast)$ меньше значения в точке $(a^\ast,b^\ast,c^\ast,d^\ast)$. И здесь важно, что коэффициент при $a^2$ больше коэффициента при $b^2$. Значит, $a^\ast=b^\ast=c^\ast=d^\ast=1/4$.

Добавлено спустя 12 минут 20 секунд:

Ага. Почитал внимательно пост и увидел подобные рассуждения
Профессора Снэйпа.

 
 
 
 
Сообщение25.04.2009, 06:27 
огромное спасибо!!!!!!!!!!!!!1

 
 
 
 
Сообщение25.04.2009, 11:46 
Как мне каежтся, решение 1/4 было бы верно, если бы надо было найти минимум выражения $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, а у нас же тут различные коэффиценты

 
 
 
 
Сообщение25.04.2009, 13:19 
Аватара пользователя
LetsGOX в сообщении #208033 писал(а):
Как мне каежтся, решение 1/4 было бы верно, если бы надо было найти минимум выражения $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, а у нас же тут различные коэффиценты

Но на переменные наложено дополнительное условие $a\ge b\ge c\ge d\ge0$.

 
 
 
 
Сообщение25.04.2009, 17:20 
Аватара пользователя
Предлагаю при $d$ поставить коэффициент $80$:
$7a^2+5b^2+3c^2+80d^2$ минимальна.

 
 
 
 
Сообщение26.04.2009, 15:20 
Т. е. мы рассматриваем убывающую функцию?

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group