2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Найти наименьшее значение функции
Сообщение24.04.2009, 20:06 
Помогите разобраться с примером
$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$
$$a+b+c+d = 1$$
$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2 = ?$$
Надо найти наименьшее значение
:?:

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 20:07 
А числа то целые?

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 20:16 
Нет

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 20:17 
Целевая функция -- выпуклая, ограничения -- линейные, поэтому минимум будет достигаться в одной их вершин области, задаваемой ограничениями.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 20:33 
Аватара пользователя
К выпуклости надо добавить, что единственный минимум целевой функции лежит вне области ограничений. А то возьмет и примет минимум внутри грани.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 20:35 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Целевая функция -- выпуклая, ограничения -- линейные, поэтому минимум будет достигаться в одной их вершин области, задаваемой ограничениями.


Может, я чего-то не понимаю?

Если $-1 \leqslant x,y \leqslant 1$, то чему равен минимум $x^2+y^2$? Очевидно, что нулю, и что достигается этот минимум отнюдь не в одной из вершин квадрата, ограничивающего область. Хотя ограничения тоже линейные, и функция тоже выпукла...

 
 
 
 Re: Степени
Сообщение24.04.2009, 20:59 
Аватара пользователя
KAS136 писал(а):
Помогите разобраться с примером
$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$
$$a+b+c+d = 1$$
$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2 = ?$$
Надо найти наименьшее значение
:?:

Поскольку рост любого из $a, b, c, d$ ведет к росту $$7a^2+5b^2+3c^2+d^2$$, то минимального значения она, очевидно, достигнет тогда, когда $$\frac17a^2=\frac15b^2=\frac13c^2=d^2$$
Пусть $a=x$, тогда $$b=\sqrt{\frac57}x$$, $$c=\sqrt{\frac37}x$$, $$d=\sqrt{\frac17}x$$.
Откуда $$\left(\sqrt{\frac57}x+\sqrt{\frac37}x+\sqrt{\frac17}x+x\right)=1$$
$$x=\frac{1}{\sqrt{\frac57}+\sqrt{\frac37}+\sqrt{\frac17}+1}$$

Добавлено спустя 3 минуты:

Ну а максимального, когда $a=1$, а все остальные равны $0$.

 
 
 
 Re: Степени
Сообщение24.04.2009, 21:03 
Аватара пользователя
Мат писал(а):
Поскольку рост любого из $a, b, c, d$ ведет к росту $$7a^2+5b^2+3c^2+d^2$$, то минимального значения она, очевидно, достигнет тогда, когда $$7a^2=5b^2=3c^2=d^2$$


Из $7a^2 = d^2$ следует $a < d$, а у нас ограничение $a \geqslant d$.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:05 
Аватара пользователя
Наоборот, $7d^2=a^2$

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:16 
Аватара пользователя
Мат писал(а):
Наоборот, $7d^2=a^2$


Было написано $7a^2=5b^2=3c^2=d^2$, я просто процитировал.

А как это всё наоборот?

P. S. У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при $a=b=c=d=1/4$.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:20 
Профессор Снэйп в сообщении #207911 писал(а):
. У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при .

Ну явно неправильное ощущение. не говоря уж о программированиях: Ваше решение симметрично, в то время как ограничения тоже симметричны, целевая же функция -- нет. Так просто не бывает.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:25 
Мат, при ваших значениях $f=1,44899...$, в то время как при $a=b=c=d=1/4$ $f=1$.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:30 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #207911 писал(а):
У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при $a=b=c=d=1/4$.

Интересно, откуда. Ощущение, конечно, верное, как легко проверить, но мне оно не кажется очевидным.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:31 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #207911 писал(а):
. У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при .

Ну явно неправильное ощущение. не говоря уж о программированиях: Ваше решение симметрично, в то время как ограничения тоже симметричны, целевая же функция -- нет. Так просто не бывает.


А давайте для простоты снизим число переменных.

$$
a \geqslant b; \,\,a + b = 1
$$

Ищем минимум функции $3a^2 + b^2$. Берём $a = 1/2+x$, $b = 1/2-x$, получаем

$$
3a^2+b^2 = 3(1/2+x)^2 + (1/2-x)^2 = 4x^2 + 2x + 1
$$

и надо искать минимум этого дела при $x \geqslant 0$. Вершина параболы находится в точке $x = -1/4$, при $x \geqslant 0$ всё возрастает и минимум действительно имеет место при $x=0$, то есть при $a=b=1/2$.

Вам тут ничего подозрительным не кажется? Решение симметрично, ограничения тоже "симметричны", целевая функция нет. Что не так?

 
 
 
 
Сообщение24.04.2009, 21:32 
Аватара пользователя
Полосин
Вполне вероятно, т.к. минимум может зависеть лишь от чисел $a, b, c, d$ независимо от коэффициентов при них, т.к. чем меньше каждое из них, тем меньше результат.
С другой стороны, очевидно, что если $a>b$, то это уже будет больше, чем $a=b$. Профессор Снейп прав

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group