Найти наименьшее значение функции

[KAS136]

Помогите разобраться с примером
$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$

$$a+b+c+d = 1$$

$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2 = ?$$

Надо найти наименьшее значение

[LetsGOX]

А числа то целые?

[KAS136]

Нет

[ewert]

Целевая функция -- выпуклая, ограничения -- линейные, поэтому минимум будет достигаться в одной их вершин области, задаваемой ограничениями.

[gris]

К выпуклости надо добавить, что единственный минимум целевой функции лежит вне области ограничений. А то возьмет и примет минимум внутри грани.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Целевая функция -- выпуклая, ограничения -- линейные, поэтому минимум будет достигаться в одной их вершин области, задаваемой ограничениями.

Может, я чего-то не понимаю?

Если $-1 \leqslant x,y \leqslant 1$, то чему равен минимум $x^2+y^2$? Очевидно, что нулю, и что достигается этот минимум отнюдь не в одной из вершин квадрата, ограничивающего область. Хотя ограничения тоже линейные, и функция тоже выпукла...

[Мат]

KAS136 писал(а):

Помогите разобраться с примером
$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$

$$a+b+c+d = 1$$

$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2 = ?$$

Надо найти наименьшее значение

Поскольку рост любого из $a, b, c, d$ ведет к росту

$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2$$

, то минимального значения она, очевидно, достигнет тогда, когда

$$\frac17a^2=\frac15b^2=\frac13c^2=d^2$$

Пусть $a=x$, тогда

$$b=\sqrt{\frac57}x$$

,

$$c=\sqrt{\frac37}x$$

,

$$d=\sqrt{\frac17}x$$

.
Откуда

$$\left(\sqrt{\frac57}x+\sqrt{\frac37}x+\sqrt{\frac17}x+x\right)=1$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{\frac57}+\sqrt{\frac37}+\sqrt{\frac17}+1}$$

Добавлено спустя 3 минуты:

Ну а максимального, когда $a=1$, а все остальные равны $0$.

[Профессор Снэйп]

Мат писал(а):

Поскольку рост любого из $a, b, c, d$ ведет к росту

$$7a^2+5b^2+3c^2+d^2$$

, то минимального значения она, очевидно, достигнет тогда, когда

$$7a^2=5b^2=3c^2=d^2$$

Из $7a^2 = d^2$ следует $a < d$, а у нас ограничение $a \geqslant d$.

[Мат]

Наоборот, $7d^2=a^2$

[Профессор Снэйп]

Мат писал(а):

Наоборот, $7d^2=a^2$

Было написано $7a^2=5b^2=3c^2=d^2$, я просто процитировал.

А как это всё наоборот?

P. S. У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при $a=b=c=d=1/4$.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #207911 писал(а):

. У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при .

Ну явно неправильное ощущение. не говоря уж о программированиях: Ваше решение симметрично, в то время как ограничения тоже симметричны, целевая же функция -- нет. Так просто не бывает.

[Полосин]

Мат, при ваших значениях $f=1,44899...$, в то время как при $a=b=c=d=1/4$ $f=1$.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #207911 писал(а):

У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при $a=b=c=d=1/4$.

Интересно, откуда. Ощущение, конечно, верное, как легко проверить, но мне оно не кажется очевидным.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #207911 писал(а):

. У меня интуитивное ощущение, что минимум достигается при .

Ну явно неправильное ощущение. не говоря уж о программированиях: Ваше решение симметрично, в то время как ограничения тоже симметричны, целевая же функция -- нет. Так просто не бывает.

А давайте для простоты снизим число переменных.

$$ a \geqslant b; \,\,a + b = 1 $$

Ищем минимум функции $3a^2 + b^2$. Берём $a = 1/2+x$, $b = 1/2-x$, получаем

$$ 3a^2+b^2 = 3(1/2+x)^2 + (1/2-x)^2 = 4x^2 + 2x + 1 $$

и надо искать минимум этого дела при $x \geqslant 0$. Вершина параболы находится в точке $x = -1/4$, при $x \geqslant 0$ всё возрастает и минимум действительно имеет место при $x=0$, то есть при $a=b=1/2$.

Вам тут ничего подозрительным не кажется? Решение симметрично, ограничения тоже "симметричны", целевая функция нет. Что не так?

[Мат]

Полосин
Вполне вероятно, т.к. минимум может зависеть лишь от чисел $a, b, c, d$ независимо от коэффициентов при них, т.к. чем меньше каждое из них, тем меньше результат.
С другой стороны, очевидно, что если $a>b$, то это уже будет больше, чем $a=b$. Профессор Снейп прав