Множества, с большей мощьностью, чем континуум

[Xaositect]

Pi в сообщении #207721 писал(а):

Да кто сказал? Я могу понимать под ним любое другое множество. Например, {0..-1}, {огурец,помидор,картофель}, любое бесконечное множество.

Хмм...
Вряд ли я соглашусь в этом вопросе на ничью, потому что $\{a\}$, $\{a,b\}$ и т.д. -- это стандартные обозначения множеств, содержащих 1, 2 и т.д. элементов

[Pi]

Xaositect в сообщении #207768 писал(а):

потому что $\{a\}$, $\{a,b\}$ и т.д. -- это стандартные обозначения множеств, содержащих 1, 2 и т.д. элементов

{огурец,памидор,салат} - в каком порядке? Где он здесь указан?
В том то и дело что нигде. Порядок записи в множестве может быть любым. {огурец,памидор,салат} = {памидор,огурец,салат}, {a,b}={b,a}.
Даже для трех элементов порядковых типов может быть несколько.
У Хаусдорфа ведь написанно что при суммировании используются множества с уже наложенными на нах типами.

Все больше я на дискуссию об толкования этого обозначения отвечать не буду. Я не понимаю, что припинаться, ведь обозначение явно не правильное. Неоднозначное. Когда есть правильное и однозначное, что используется всеми.
По моему этот вопрос настолько мелкий что выеденного яйца нестоит. Если вы думаете его и дальше использовать, то флаг в руки, и масса в прастрации.....

[AD]

Pi в сообщении #207784 писал(а):

Даже для трех элементов порядковых типов может быть несколько.

Ага, то есть этот гражданин вообще не знает, что такое порядковый тип. До этого можно было догадаться, потому что для этого надо знать, что такое изоморфизм упорядоченных множеств, а незнание этого он уже продемонстрировал. Оччень любопытно, н-да.

Pi в сообщении #207784 писал(а):

Я не понимаю, что припинаться, ведь обозначение явно не правильное. Неоднозначное.

Обозначение совершенно правильное и однозначное. А у Pi галлюцинации.

Pi в сообщении #207784 писал(а):

По моему этот вопрос настолько мелкий что выеденного яйца нестоит.

Тем не менее, он в очередной раз продемонстрировал дремучесть Pi.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #207573 писал(а):

Это неверно.

Действительно, что-то я вчера дал маху.

Тип ординала $\omega^\omega$ можно получить на множестве всех конечных последовательностей натуральных чисел следующим образом. Две конечные последовательности сравниваем так: если они имеют разную длину, то меньшей считается последовательность, длина которой меньше, а если они имеют одинаковую длину, то сравниваем лексикографически. То, что получается действительно $\omega^\omega$, легко следует из равенства

$$ \omega^\omega = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 + \ldots $$

А вот как более-менее конструктивно задать тип упорядочивания $\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}$? Довольно интересная задача

Вообще, такая тема, как конструктивные ординалы --- самая что ни на есть классика теории вычислимости! Довольно много про это написано в Роджерсе, есть и в других книгах. Из online-источников первое, что приходит в голову --- конспект лекций по спецкурсу, который я несколько лет назад читал в НГУ, стр. 87 -- 101.

[Xaositect]

Pi в сообщении #207784 писал(а):

{огурец,памидор,салат} - в каком порядке? Где он здесь указан?
В том то и дело что нигде. Порядок записи в множестве может быть любым. {огурец,памидор,салат} = {памидор,огурец,салат}, {a,b}={b,a}.

Любые два упорядочения конечного множества изоморфны друг другу. Т.к. мы рассматриваем порядковые типы, никакой неоднозначности нет.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

Любые два упорядочения конечного множества изоморфны друг другу. Т.к. мы рассматриваем порядковые типы, никакой неоднозначности нет.

Любые 2 линейных упорядочения --- да, изоморфны. А два частичных упорядочения могут быть не изоморфны.

Извиняюсь, что не до конца вник в терминологию этого обсуждения. Выхватил тему "с конца", читать предыдущие 6 страниц несколько напряжно.

[Pi]

Профессор Снэйп в сообщении #207812 писал(а):

А вот как более-менее конструктивно задать тип упорядочивания $\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}$?

У меня есть смутное подозрение что этот тип схож или является типом p-адических чисел.

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #207844 писал(а):

Любые 2 линейных упорядочения --- да, изоморфны. А два частичных упорядочения могут быть не изоморфны.

Ну, у нас тут разговор про порядковые типы линейных порядков.
С частичными все гораздо сложнее.

[Профессор Снэйп]

Pi писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #207812 писал(а):

А вот как более-менее конструктивно задать тип упорядочивания $\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}$?

У меня есть смутное подозрение что этот тип схож или является типом p-адических чисел.

Вынужден согласиться с одним из высказанных выше замечаний AD.

AD писал(а):

Ага, то есть этот гражданин вообще не знает, что такое порядковый тип.

Добавлено спустя 3 минуты 32 секунды:

Xaositect писал(а):

С частичными все гораздо сложнее.

Согласен. Там вообще сам чёрт ногу сломит.

Добавлено спустя 39 минут 6 секунд:

Кстати, вот, задачку сформулировал. Приглашаю порешать её всех, кто понимает, что такое порядковый тип