Множества, с большей мощьностью, чем континуум

[kvanttt]

Мощность конечного множества - это количество элементов в этом множестве.
Мощность множества натуральных чисел называют счетным
Мощность множества действительных чисел - континуальное.

Вопрос: что вы можете сказать про более мощные множества?
У кого какие идеи? как это можно использовать? как их можно представить/описать?

Ведь получается, что континуальное множество тоже содержит "дыры", в которые можно вставить еще континуальные множества, да и вообще любое множество в таком случае имеет промежутки, в которых, образно говоря, ничего нет.
$2^{|R|}$ - мощность следующего после континуальных чисел множества(множество подмножеств или булеан)

[Brukvalub]

kvanttt в сообщении #171032 писал(а):

Вопрос: что вы можете сказать про более мощные множества?

Они есть!

kvanttt в сообщении #171032 писал(а):

Ведь получается, что континуальное множество тоже содержит "дыры", в которые можно вставить еще континуальные множества, да и вообще любое множество в таком случае имеет промежутки, в которых, образно говоря, ничего нет.

Бред. Какие дыры? Вы о чем?

[kvanttt]

Brukvalub писал(а):

Бред. Какие дыры? Вы о чем?

Ну я не формально это говорил. Вот допустим множество рациональных чисел можно пересчитать натуральными и известно как, т.е. составить биекцию. Ну а если попробовать это сделать с действительными числами, то получится, что их "больше", чем натуральных (Есть теорема кантора). Под дырами я подрузмеваю эти абстрактные промежутки, которые не закрывают натуральные числа. А при переходе к более мощным множествам эти промежутки тоже появляются, только уже по отношению к действительным числам.

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

Brukvalub писал(а):

kvanttt в сообщении #171032 писал(а):

Вопрос: что вы можете сказать про более мощные множества?

Они есть!

Ну это понятно, в мире много чего есть

[arqady]

kvanttt писал(а):

Brukvalub писал(а):

kvanttt в сообщении #171032 писал(а):

Вопрос: что вы можете сказать про более мощные множества?

Они есть!

Ну это понятно, в мире много чего есть

Eto iluziya! imho, Imeutsa tol'ko nashi chelovecheskie predstavlenia ob etom mire,kotorye s techeniem vremeni menautsa ot odnogo breda k drugomu.

[Brukvalub]

kvanttt в сообщении #171043 писал(а):

Под дырами я подрузмеваю эти абстрактные промежутки, которые не закрывают натуральные числа. А при переходе к более мощным множествам эти промежутки тоже появляются, только уже по отношению к действительным числам.

Да нет никаких промежутков....

[PAV]

PAV:

arqady,
набор сообщений транслитом является нарушением правил форума.
Если у Вас нет русской клавиатуры, то пользуйтесь, пожалуйста, сервисом http://www.translit.ru/ или подобными

[ddn]

Эти промежутки называются сечения. И существуют они не у абстрактных множеств, а только у линейно порядочных множеств (допускаю, что можно обобщить на частично упорядоченные).
Если $(<)\subseteq A^2$ порядок на $A$, то совокупность сечений есть:
$\{B|B\subseteq A,\forall x\in B\forall y\in A/B(x<y)\}$
- обычно еще исключают случай $B=\{\}$ и $B=A$.
Сечения, или "промежутки", существуют у любого упорядоченного множества, даже пустого.
Но существуют сечения $B$, в которых есть разделяющий элемент $x$ такой, что $\forall y\in B(y\leqslant x)$ и $\forall y\in A/B(x\leqslant y)$ или, эквивалентно существуют $\sup_< B=\inf_< A/B=x$. Обычно сечения $B/\{\sup_< B\}$ и $B\cup\{\sup_< B\}$ не различают.
Если все сечения таковы (кроме, может быть, $B=\{\}$ и $B=A$), то порядок называется полным. Таковы все замкнутые упорядоченные подмножества $\mathbb{R}$.
Порядки $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$ тоже полные, но они нигде не плотные.
Полные и всюду плотные порядки на подмножествах $\mathbb{R}$ - это его замкнутые, полузамкнутые и открытые интервалы.

Но если Вы, kvanttt, имеете ввиду под промежутками буквальные промежутки в упорядоченном множестве, то здесь речь идет о вложенности одного порядка в другой.
Любой, абсолютно любой, порядок $X$ можно вложить в другой порядок $Y$ так, что в нем не только будут промежутки (точки не входящие в порядок $X$) между множествами $B$ и $A/B$ любого сечения, но при этом множество $X$ даже будет нигде не плотным в $Y$ и даже без предельных точек (дискретно) в $Y$.
Как это сделать? С помощью операции возведения в степень одного линейного порядка в другой, где результативный порядок вводится лексикографически. К примеру, порядок $[0,1]$ есть степень $2^{\omega_0}$ с отождествлением отображений $\phi_1$ и $\phi_2$ если $\exists\alpha\in\omega_0(\forall\beta\in\alpha(\phi_1(\beta)=\phi_2(\beta))\wedge(\phi_1(\alpha)=0)\wedge(\phi_2(\alpha)=1)$
$\wedge\forall\beta\in\omega_0/(\alpha+1)(\phi_1(\beta)=1\wedge\phi_2(\beta)=0))$
Если вместо ординала $\omega_0$ взять любой больший (не обязательно большей мощности! - можно взять и $\omega_0+1$), то мы получим вложение $\mathbb{R}$ в такой порядок, где между множествами $B$ и $A/B$ любого сечения $\mathbb{R}$ будут точки не принадлежащие $\mathbb{R}$.

[kvanttt]

ddn писал(а):

Если вместо ординала $\omega_0$ взять любой больший (не обязательно большей мощности! - можно взять и $\omega_0+1$), то мы получим вложение $\mathbb{R}$ в такой порядок, где между множествами $B$ и $A/B$ любого сечения $\mathbb{R}$ будут точки не принадлежащие $\mathbb{R}$.

А я говорю про множества именно большей мощности. Ну допусти ограничимся множеством $2^{R}$. Какие новые свойства у этого множества появляются по сравнению с множеством действительных чисел? Какие функции можно ввести над полем "постдействительных" чисел (ну допусти весь мат. анализ построен на действительных числах, там введены функции $ln(x), sin(x), Г(x))$, или вообще не имеет смысла? Если кто-то найдет что-либо по этому поводу или будет рассуждать на эту тему, высказывайтесь!

[Brukvalub]

kvanttt в сообщении #171798 писал(а):

Если кто-то найдет что-либо по этому поводу или будет рассуждать на эту тему, высказывайтесь!

И тут у Пятачка с Вини-Пухом вдруг завязался очень умный спор....

[ddn]

kvanttt писал(а):

А я говорю про множества именно большей мощности. Ну, допустим, ограничимся множеством $2^{R}$.

Множества большей мощности получим, если возьмем $\omega\geqslant\omega_1$. Но эта конструкция естественна, если нам нужно получить всего лишь упорядоченное множество.

kvanttt писал(а):

Какие новые свойства у этого множества появляются по сравнению с множеством действительных чисел?

Если мы хотим ввести алгебру (будем рассматривать только коммутативные), согласованную с порядком, то данную конструкцию можно упростить.

kvanttt писал(а):

Какие функции можно ввести над полем "постдействительных" чисел (ну допусти весь мат. анализ построен на действительных числах, там введены функции $\ln(x), \sin(x), \Gamma(x)$, или вообще не имеет смысла? Если кто-то найдет что-либо по этому поводу или будет рассуждать на эту тему, высказывайтесь!

Боюсь, что операция сложения будет выходить за пределы нашего множества (как и операция сложения на $[0,1]$) - этот дефект можно устранить расширением множества $2^{\omega}$. Грубо говоря, если $\omega=\alpha\times\omega_0+\alpha_0$, где $\alpha_0<\omega_0$ (разложение единственно), то число из $2^{\omega}$ есть $\sum\limits_{\beta\in\alpha+1}r_{\beta}x_{\beta}$, где $r_{\beta}$ - действительные числа из $[0,1]$, причем последнее $r_{\alpha+1}$ имеет лишь $\alpha_0$ значащих цифр (в двоичном представлении) после запятой и также следует положить $r_{\alpha+1}\equiv 0$ когда $\alpha_0=0$, а $x_{\beta}$ - образующая алгебры $\beta$-го порядка малости.
Сравнение чисел здесь лексикографическое, причем упорядочение образующих на самом деле есть обратное (инвертированное) к порядку $\alpha+1$: $x_{\beta}<x_{\beta'}$ когда $\beta>\beta'$. Но далее, мы будем понимать только прямое упорядочение образующих индексами: $x_{\beta}<x_{\beta'}$ когда $\beta<\beta'$!
Операция сложения чисел очевидна – она покомпонентна. Нужно лишь положить числа $r_{\beta}$ произвольными действительными, и сложение станет замкнутым.
Мы видим л.у. алгебру (коммутативный группод/полугруппа/группа), построенную на л.у. алгебре (коммутативном групподе/полугруппе/группе – здесь, группа $\mathbb{R}$) и л.у. множестве образующих. Множество образующих $X$ необязательно брать вполне упорядоченным - достаточно, чтобы подмножество образующих $x_{\beta}$ любого элемента новой алгебры, коэффициенты $r_{\beta}$ при которых в представлении элемента $\sum\limits_{\beta\in X}r_{\beta}x_{\beta}$ отличны от нуля, (носитель) было вполне упорядоченным в сторону возрастания – это обеспечивает лексикографическую сравнимость элементов новой апгебры (линейность порядка). Такую л.у. алгебру со сложением, можно определить как $\mathbb{R}^X$.
Можно даже отбирать элементы только с конечным носителем, получая "тихоновские" степени, обозначим $_0\mathbb{R}^X$ .

Чтобы ввести умножение в нашей новой алгебре, необходимо определить умножение образующих и соблюсти определенные ограничения. Наиболее простая форма умножения - моноидная: $x_{\alpha}x_{\beta}=x_{\alpha\oplus\beta }$. Значит, чтобы новая алгебра $\mathbb{R}^X$ была снабжена естественной (по построению) структурой умножения, необходимо, чтобы множество образующих, или, если изволите, множество индексов образующих, было снабжено структурой сложения $\oplus$. Чтобы умножение было коммутативным и ассоциативным, необходимы те же свойства у сложения индексов $\oplus$.
Очевидно следующее ограничение: конечное число слагаемых во всех суммах вида $\sum\limits_{^{\beta\in bas,\beta'\in bas'}_{\beta+\beta'=\alpha}}a_{\beta}a_{\beta'}'$ с носителями $bas$, $bas'$ произвольных элементов алгебры, действительно:
$\sum\limits_{\beta\in bas}a_{\beta}x_{\beta}\sum\limits_{\beta'\in bas'}a_{\beta'}'x_{\beta'}=\sum\limits_{\alpha\in X}(\sum\limits_{^{\beta\in bas,\beta'\in bas'}_{\beta+\beta'=\alpha}} a_{\beta}a_{\beta'}')x_{\alpha}$.
Если в сумме с $\beta+\beta'=\alpha$ при убывании $\beta$, $\beta'$ возрастает и наоборот (будет, если $\oplus$ дает полугруппу), то, в силу волне упорядоченности носителей, сумма имеет конечное число слагаемых. Также, этого можно добиться в алгебре с только конечными носителями элементов.
То есть, если $A$ - л.у. коммутативное кольцо, $B$ - л.у. коммутативный группоид (с конечностью сумм), то $A^B$ - снова л.у. коммутативное кольцо.

Но заметим! Наше множество $\mathbb{R}^X$ скорее всего не является дедекиндово полным. Значит, мы не сможем определить бесконечные суммы, а значит и аналитические функции, типа $\ln(x), \sin(x), \Gamma(x)$.
Операции сложения и умножения, скорее всего, не являются непрерывными. Их, скорее всего, невозможно толково доопределить на пополненном пространстве $\mathbb{R}^X$. Хотя, они монотонны.
Операция деления в случае общего порядка на $X$ неопределима принципиально! Кроме деления на исходной алгебре $\mathbb{R}$, требуются бесконечно большие образующие наряду с бесконечно малыми (в $<X,\oplus>$ должен быть нуль и обратные элементы), но даже в этом случае врят ли обратный элемент в $\mathbb{R}^X$ всегда будет иметь вполне упорядоченный в сторону возрастания носитель. Исключением являются разве что структуры $X= _0\mathbb{Z}^Y$ ($Y$ - л.у.мн.) – формальные ряды с убывающими степенями от произвольного (но конечного для каждого отдельного элемента алгебры) числа ранжированных по старшинству переменных.

То есть мы имеем довольно дерьмовую алгебру, по сравнению алгеброй действительных чисел. В общем случае, не более чем кольцо. Поле получается в исключительных случаях, но операция обращения элемента разрывна – непрерывна она только у поля $\mathbb{R}$, да еще у неупорядоченного поля $\mathbb{C}$.


Есть правда еще алгебраическое поле так называемых бесконечно малых величин, элементы регулярного роста там можно линейно упорядочить. Это несколько другая структура, более широкая, чем, скажем, поле формальных рядов. Не уверен, что ее можно представить даже по сложению как некоторую $\mathbb{R}^X$, и тем более по умножению с правилом $x_{\alpha}x_{\beta}=x_{\alpha\oplus\beta }$. Может быть представить как подалгебру некоторой $\mathbb{R}^X$?

[AndreyXYZ]

А я считаю, что действительные и натуральные числа --- это ненужная абстракция.
Предположим, что наша вселенная конечна. Тогда бесконечного множества не может существовать в принципе. Действительно, если мы подсчитаем количество бит во вселенной, пусть оно равно $10^{100}$, то не будет никакого смысла оперировать числами больше $2^{(10^{100})}$. Т.е. мы можем обходиться конечным множеством натуральных чисел.

[kvanttt]

AndreyXYZ писал(а):

А я считаю, что действительные и натуральные числа --- это ненужная абстракция.
Предположим, что наша вселенная конечна. Тогда бесконечного множества не может существовать в принципе. Действительно, если мы подсчитаем количество бит во вселенной, пусть оно равно $10^{100}$, то не будет никакого смысла оперировать числами больше $2^{(10^{100})}$. Т.е. мы можем обходиться конечным множеством натуральных чисел.

Нет, это не верно. Не нужно связывать математику и реальный мир - это разные понятия. Если на то уж пошло, то получается, что почти все, что есть в математике - ненужная абстракция, потому что этого нет в реальном мире!

К тому же с чего вы взяли, что вселенная конечна? И причем тут количество бит? вообще о каких битах идет речь?

По вашему и рациональные числа тоже не нужны, можно обойтись натуральными?

[Dan B-Yallay]

AndreyXYZ писал(а):

А я считаю, что действительные и натуральные числа --- это ненужная абстракция.
Предположим, что наша вселенная конечна. Тогда бесконечного множества не может существовать в принципе.

Предположим что наша вселенная квадратна. Тогда $\sqrt{2}$ оставляем, а $\pi$ выкидываем из математики,

[AD]

AndreyXYZ писал(а):

то не будет никакого смысла оперировать числами больше $2^{(10^{100})}$.

Не очевидно. Если нужно будет работать с булевыми функциями, определенными на вселенной, в которой $10^{100}$ бит, то этих функций уже будет $2^{2^{10^{100}}}$, то есть гораздо больше. Короче, быссмысленная болтовня, AndreyXYZ.

[Кардановский]

kvanttt: На мой взгляд,Ваше утверждение о том,что математика и реальный мир малосвязаны,спорно! Да,связь эта не всегда очевидна ,но это вовсе не значит,что этой связи у некоторых разделов математики нет вообще!