Множества, с большей мощьностью, чем континуум

[Pi]

Xaositect писал(а):

Pi в сообщении #206708 писал(а):

Тип \lambda+1 утверждает что может быть бесконечное количество знаков до запятой не равных нулю, то есть все числа представимы в виде ...x...y,z... (например макисмальное число "все девятки").

В типе $\lambda+1$ есть ровно одно такое число.
Ну или можно считать, что все такие числа равны.

Не понял. Вообще этот тип по теории порядковых чисел, утверждает что есть последний элемент и бесконечное количество меньших чем оный. Так вот если мы запишем этот последний как ...(9)9,9(9)..., то меньшим на единицу будет ...(9)8,9(9)... и тд. Поэтому действительных чисел такого рода бесконечное количество.
А вот порядкового числа $\lambda+2$ (и тп.) не существует. Почему? Это очень хорошо объясненно у Хаусдорфа. (в некотром смысле, очень грубо, потому-что мы можем последнее число обозначить ...(9)9,9(9)..., но между ним и предпоследним не будет других действительных чисел, то есть это множество не есть множество действительных чисел - прошу не воспринимать это текст как доказательство - это лишь пояснение).

[Xaositect]

А вот тут либо я, либо Вы чего-то не понимаем.
Есть определение сложения порядковых типов, и согласно этому определению, тип $\lambda+1$ имеет упорядоченное множество, изоморфное множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, где действительные числа упорядочены стандартно, а $\infty$ больше их всех.
Тип $\lambda+2$ также существует. Его представителем будет $\mathbb{R}\cup\{0_{\infty},1_{\infty}\}$, где $\mathbb{R}$ опять же стандартно упорядочено, $0_{\infty}<1_{\infty}$ и оба "бесконечных элемента" больше любого действительного числа.
Как Вы правильно заметили, $\lambda+2$ имеет два элемента, между которыми элементов нет, следовательно, он отличен от $\lambda$ и $\lambda+1$
Почему вы говорите, что его нет, и при этом аппелируете к действительным числам, я не понимаю.

Добавлено спустя 9 минут 24 секунды:

И, кстати, порядковые типы $\lambda$, $\lambda+1$, $\lambda+2$ не являются порядковыми числами(ординалами).

[Pi]

Да это очепятка, конечноже это порядковый тип.

Xaositect в сообщении #206818 писал(а):

Есть определение сложения порядковых типов, и согласно этому определению, тип $\lambda+1$ имеет упорядоченное множество, изоморфное множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, где действительные числа упорядочены стандартно, а $\infty$ больше их всех.

Это не так, вот перепичатываю Хаусдорфа у него понятно написанно.

Цитата:

Тип \lambda множества всех действительных чисел есть в то же время тип множества точек интервала или же полупрямой без конечной точки (х > а, х < а).
Интервал, полуинтервалы и сегмент
$(a, b), [a, b), (a, b], [а, b]$
имеют типы
$ \lambda, 1+\lambda, \lambda+1, 1+\lambda+1$.

Другие типы будут не изоморфны множеству действительных чисел поскольку будут иметь несколько интервалов, а множество действительных чисел не имеет разрывов, но будут иметь мощность континиума. Именно в этом смысле $\lambda+2$ не существует как тип действительных чисел.

И поэтому тип $\lambda+1$ не изоморфен множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ если вы подразумеваете что в нем нет всех $\forall x\exists\infty-x$, то есть точка $\infty$ изолированна (как я понял из вашего текста). Он не соответствует никакому полуинтервалу.
Такое множество $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ с изолировнной точкой $\infty$ является множеством типа $\lambda+1^*$. Ибо состоит из интервала и сегмента. Где сегмент есть конечное счетное множество рассматриваемое как тип меньшей мощности счетного множества типа $\omega^*$. По образцу порядковых типов $1<n<\omega$, так и обратно упорядоченных к ним $1^*<n^*<\omega^*$. Тогда ваш тип с двумя изолированными бесконечностями можно обозначить $\lambda+2^*$.

[AD]

Pi в сообщении #206981 писал(а):

конечное счетное множество

Pi в сообщении #206981 писал(а):

$\forall x\exists\infty-x$

Ниасилил.

Pi в сообщении #206981 писал(а):

И поэтому тип $\lambda+1$ не изоморфен множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$

А ничё, что я могу изоморфизм $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ и $(0,1]$ Вам тут прямо сейчас выписать? И как упорядоченных множеств, и как топологических пространств.

[Pi]

$\forall x>0\exists\infty-x\neq\infty$ = для любого положительного вещественного числа x существует $\infty-x$ такой что он отличается от $\infty$.

AD в сообщении #207007 писал(а):

Ниасилил.
Pi в сообщении #206981 писал(а):
И поэтому тип $\lambda+1$ не изоморфен множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$

А резать фразы на полуслове - после чего меняется весь смысл сказанного - нехорошо. Верх неприличия!

[AD]

Pi в сообщении #207051 писал(а):

А резать фразы на полуслове - после чего меняется весь смысл сказанного - нехорошо.

А ввиду вышесказанного отрезанная часть фразы является единственной осмысленной ее частью.

Pi в сообщении #207051 писал(а):

$\forall x>0\exists\infty-x\neq\infty$

А это уже существенно отличается от того, на что отвечал я.

Pi в сообщении #206981 писал(а):

$\forall x\exists\infty-x$

Но понятнее не стало, ибо речь всё время идет об изоморфизме упорядоченных множеств, а всякие слова типа "минус" и "изолированный" в этих структурах не имеют смысла.

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

То есть в ответ на фразу "$2+2=5$, если считать, что фиолетовые крокодилы знают теорему Хана-Банаха" я считаю вполне приличным ответить, что $2+2\neq5$.

[Pi]

AD в сообщении #207062 писал(а):

А ввиду вышесказанного отрезанная часть фразы является единственной осмысленной ее частью.

А если не понимаешь, то нахрен встревать? Надо пинимать всю фразу, иначе то что для вас не осмыссленно то для других полностью оссмысленно.
Все равно речь совсем о другом чем вы тут пишете.

AD в сообщении #207062 писал(а):

Но понятнее не стало, ибо речь всё время идет об изоморфизме упорядоченных множеств

Мда, бессмысленно с вами разгаваривать, ибо вы не понимаете о чем идет речь и что такое порядковые типы вообще и типы множеств. Поэтому пожалусто не встревайте. Понятливые люди и так поймут без разжевывание о чем идет речь.

Я больше нискем бессмысленно припенаться не буду...

[AD]

А я вот утверждаю, что не только я не понимаю, что Вы говорите, но и Вы тоже не понимаете, о чем Вы говорите. Вот Xaositect всё выражает точно и понятно, а Вы непрерывно сыпете какими-то необщепринятыми (а это уже наказуемо и подозрительно!) обозначениями и понятиями.

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

Pi в сообщении #207081 писал(а):

вы не понимаете о чем идет речь и что такое порядковые типы вообще и типы множеств

Это наезд? Продемонстрируйте, пожалуйста, у меня хоть одно неверное утверждение.

[Pi]

AD в сообщении #207094 писал(а):

А я вот утверждаю, что не только я не понимаю, что Вы говорите, но и Вы тоже не понимаете

Цитирую себя.

Pi в сообщении #207081 писал(а):

Я больше ни скем бессмысленно припенаться не буду...

Если вы чего-то не знаете и не понимаете то вы не имеете права объвинять кого либо в том же. Я знаю то что знаю. Остальное это просто оскорбление.
Поэтому я вас просто игнорирую.

Цитирую себя еще раз.

Pi в сообщении #207081 писал(а):

Я больше ни скем бессмысленно припенаться не буду...

[AD]

Pi в сообщении #207096 писал(а):

Если вы чего-то не знаете и не понимаете то вы не имеете права объвинять кого либо в том же.

А я вот утверждаю, что именно это Вы только что и проделали.

Pi в сообщении #207096 писал(а):

это просто оскорбление

AD в сообщении #207094 писал(а):

Вы непрерывно сыпете какими-то необщепринятыми обозначениями и понятиями

Я привел примеры, подтверждающие свои слова. Причем до того, как эти слова произнес. Ваши наезды же совершенно голословны.

Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды:

Ну да ладно, Xaositect нас рассудит.

[Xaositect]

$\mathbb{R}\cup{\infty}$ изоморфно $(a,b]$ как линейный порядок.
$f(x) = \begin{cases} a + \frac{b-a}{\pi}(\tg x + \frac{\pi}{2}),\quad x\in\mathbb{R}\\ b, x=\infty \end{cases}$

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

Pi в сообщении #206981 писал(а):

Другие типы будут не изоморфны множеству действительных чисел поскольку будут иметь несколько интервалов, а множество действительных чисел не имеет разрывов, но будут иметь мощность континиума. Именно в этом смысле $\lambda+2$ не существует как тип действительных чисел.

Иными словами, $\lambda+2$ не может быть типом связного подмножества действительных чисел.

[Pi]

Xaositect в сообщении #207181 писал(а):

$\mathbb{R}\cup{\infty}$ изоморфно $(a,b]$ как линейный порядок.

Дело в том что вы не правильно обозначаете!
Дело в том что данное обозночение говорит что ${\infty}$ несобственная изолированная точка. То есть нет такого конечного или сколь угодо малого вещественного х, $\infty-x\neq\infty$. То есть мы не можем приблизится к бесконечности на любую величину. То что у вас написанно обычно просто обозначают $\mathbb{R}$.
И эту функцию правильно записывать так
$f(x) = \begin{cases} a + \frac{b-a}{\pi}(\tg x + \frac{\pi}{2}),\quad x<\infty\\ b, x=\infty \end{cases}$.

В множествах никто не обозначает порядковый тип, это просто оговаривают словами. Я же не зря оговориля об изолированной или несобственной точке ${\infty}$. Потому-что есть как собственные бесконечности так и не собственные.

[Xaositect]

Pi в сообщении #206981 писал(а):

Такое множество $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ с изолировнной точкой $\infty$ является множеством типа $\lambda+1^*$. Ибо состоит из интервала и сегмента. Где сегмент есть конечное счетное множество рассматриваемое как тип меньшей мощности счетного множества типа $\omega^*$. По образцу порядковых типов $1<n<\omega$, так и обратно упорядоченных к ним $1^*<n^*<\omega^*$. Тогда ваш тип с двумя изолированными бесконечностями можно обозначить $\lambda+2^*$.

Для конечных ординалов $n^{*} = n$

[Pi]

Xaositect в сообщении #207181 писал(а):

Иными словами, $\lambda+2$ не может быть типом связного подмножества действительных чисел.

В общем да. Но когда мы говорим о типах множеств мы не говорим о подмножествах. Мы расматриваем множества как будто они не включены ни в какие другие множества. То есть изолированно.
По-этому, по этому принципу, это вообще не является множеством действительных чисел. Хотя это можно и трактовать по разному, здесь наверное можно так и этак, на вкус и цвет....

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Xaositect в сообщении #207194 писал(а):

Для конечных ординалов $n^{*} = n$

Согласен. Но для конечных множеств и порядковый тип и кардинальное число совпадает, чего нет в других множествах.

[Xaositect]

Pi в сообщении #207192 писал(а):

Дело в том что вы не правильно обозначаете!
Дело в том что данное обозночение говорит что ${\infty}$ несобственная изолированная точка. То есть нет такого конечного или сколь угодо малого вещественного х, $\infty-x\neq\infty$. То есть мы не можем приблизится к бесконечности на любую величину. То что у вас написанно обычно просто обозначают $\mathbb{R}$.

$\mathbb{R}$ - множество действительных чисел со стандартным порядком, которое можно определять различными эквивалентными способами, например, через Дедекиндовы сечения. И оно изолированных точек не содержит.
Топологическая изолированность к порядковым типам отношения не имеет. Мы можем $\mathbb{R}$ упорядочить как стандартно, по типу $\lambda$, так и по $\lambda+1$, $\lambda+2$, $\omega^\omega$, $\omega^\omega + 1 + \lambda$ или как-то еще.