Определение угла

[geomath]

AD писал(а):

$|a|=\sqrt{(a,a)}$
$\cos\angle(a,b)=\frac{(a,b)}{\sqrt{(a,a)(b,b)}}$
Проходили Вы такое?
А скалярное произведение теперь уже всегда (кроме как для школьников) определяется списочком аксиом: линейность, симметричность, положительная определенность. А углы и длины - понятие производное.

Так определяют угол только потому, что правая часть действительна и по модулю не превосходит 1, поэтому левая часть существует. Но при чем здесь, собственно, угол? Угол можно было бы определить и по-другому.

Добавлено спустя 11 минут 57 секунд:

Я хотел сказать, спросить, обязан ли угол согласовываться со скалярным произведением?

[Pi]

geomath в сообщении #206260 писал(а):

Я хотел сказать, спросить, обязан ли угол согласовываться со скалярным произведением?

Ну что такое угол? Это отношение длины сегмента L к длине радиуса R.

$$\alpha=\frac L R$$

.
Тот факт что в линейном пространстве он вводится через скалярное произведение просто отражает тот факт что понятие длина там вводится тоже через скалярное произведение - норму.
Но вообще-то это свойство только линейных пространств. Если длина первична, то скалярное произведение можно не определять, тогда мы просто не будем работать в линейном пространстве. А можем например работать чисто геометрически в проективном пространстве.

AD писал(а):

А скалярное произведение теперь уже всегда (кроме как для школьников) определяется списочком аксиом: линейность, симметричность, положительная определенность. А углы и длины - понятие производное.

Это верно только если мы работает в линейном пространстве, но мы можем работать и в любом другом, так что обобщать это утверждение не верно. В проективной геометрии углы и отношения первичны, а скалярное произведение вторично.

[Yarkin]

AD писал(а):

Yarkin в сообщении #204669 писал(а):

Покажите.

$|a|=\sqrt{(a,a)}$
$\cos\angle(a,b)=\frac{(a,b)}{\sqrt{(a,a)(b,b)}}$
Проходили Вы такое?
.

Показали, да не то. Речь шла об операциях, обратных к приведенным.

[AD]

Yarkin в сообщении #206870 писал(а):

Речь шла об операциях, обратных к приведенным.

Не припоминаю никаких приведенных операций. Напомните, пожалуйста.

[geomath]

Pi писал(а):

Ну что такое угол? Это отношение длины сегмента L к длине радиуса R.

$$\alpha=\frac L R$$

.

Давайте на примере. Допустим, мы хотим вести угол $\alpha$ просто между двумя действительными числами $b$ и $c$. Что здесь взять в качестве $L$ и $R$? Если то, что указал AD, мы получим $\alpha = \arccos \pm 1$ для любых ненулевых $b$ и $c$. И что, это обязательно?

[Pi]

geomath в сообщении #207095 писал(а):

Допустим, мы хотим вести угол $\alpha$ просто между двумя действительными числами $b$ и $c$.

Это не возможно, действительные числа не пространнство. Поэтому для них понятие угла неопредилимо.

[AD]

Pi в сообщении #207097 писал(а):

Это не возможно, действительные числа не пространнство.

Вас кто-то жестоко обманул. Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством.

[Pi]

А вот ссылки на AD не корректны. Все уже поняли что он ничего не знает и утверждает то чего не понимает. Из текста видно что он всю информацию черпает из википедии, и того что там нет он и незнает.

[AD]

geomath в сообщении #207095 писал(а):

И что, это обязательно?

Ну это, в-общем естественно. Угол между положительными числами равен нулю, между положительным и отрицательным - 180 градусов. Вполне соответствует геометрическим представлениям (не путать с геоматематическими , хотя, может быть, и им тоже соответствует)

Добавлено спустя 5 минут 33 секунды:

Pi в сообщении #207101 писал(а):

Все уже поняли что он ничего не знает и утверждает то чего не понимает.

Предлагаю устроить опрос, который установил бы истинность или ложность Вашего утверждения.

[geomath]

AD писал(а):

geomath в сообщении #207095 писал(а):

И что, это обязательно?

Ну это, в-общем естественно. Угол между положительными числами равен нулю, между положительным и отрицательным - 180 градусов. Вполне соответствует геометрическим представлениям (не путать с геоматематическими , хотя, может быть, и им тоже соответствует).

Почему естественно? Давайте возьмем наибольшее по величине из $b$ и $c$, скажем $c$, и положим $\alpha = \arccos b/c$. Если числа одного знака, то угол острый, а если разных, то тупой. Чем неестественно?

[AD]

geomath в сообщении #207113 писал(а):

Почему естественно?

Потому что

AD в сообщении #207102 писал(а):

соответствует геометрическим представлениям

Ну векторы на прямой направлены либо в одну сторону, либо в разные. Без каких-либо промежуточных состояний.

geomath в сообщении #207113 писал(а):

Давайте возьмем ...

Ну возьмите. Вполне себе корректное определение. Правда, надо будет объяснить человечеству, за что Вы эту штуку углом назвали, но это уже не есть математическая проблема.

[Pi]

geomath в сообщении #207113 писал(а):

Чем неестественно?

Да как угодно. Угол понятие геометрическое и обязательно двухмерное и непрерывное. Если вы хотите расширить его на одномерный случай, то как угодно можно делать, только к реальному понятию угла это не имеет никакого отношения.
И лучше не использовать слово угол, а использовать любое другое. Потому-что что такое 180 градусов?, это 2\pi - отношение длинны окружности к его диаметру (полной длине радиуса). А какая окружность может юыть в одномерном случае? Там длинна всегда совподает с диаметром и равна единицы - всегда. Это чисто геометрически.
Но если вы хотите пользовать линейные пространства то скалярное произведение вы можете задавать как вам заблогорассудится. Но в этом случае понятия угла в геометрии и в линейном пространстве не будут совпадать.

AD в сообщении #207099 писал(а):

Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством.

А почему не пространством Римана? Или любым другим пространством?
Чтоб вы понимали что любое линейное пространство задается скалярным произведением на множестве. А не множество является пространством. Это детский ошибочный язык. Множество не может являться чем-то кроме самого себя. Действительные числа имеют мощность пространств любой размерности (установленно еще Кантором).

[shwedka]

Pi в сообщении #207130 писал(а):

Чтоб вы понимали что любое линейное пространство задается сколярным произведением на множестве.

Гениально!!! Чувствуется рука знатока!!

[AD]

Pi в сообщении #207130 писал(а):

Чтоб вы понимали что любое линейное пространство задается сколярным произведением на множестве.

Вас кто-то снова жестоко обманул. Это скалярное произведение вводится на линейном пространстве, но скалярное произведение не является необходимым атрибутом линейного.

Pi в сообщении #207130 писал(а):

Множество не может являться чем-то кроме самого себя. Действительные числа имеют мощность пространств любой размерности (установленно еще Кантором)

Понимание этого факта я как раз только что продемонстрировал здесь (и по датам видно, что это было раньше Вашего умничания).

Pi в сообщении #207130 писал(а):

А почему не пространством Римана? Или любым другим пространством?

А с какого перепуга Вы вдруг решили, что я говорил именно о множестве действительных чисел? А не о множестве вместе со введенными на нем единственным стандартным образом операциями?

[Dan B-Yallay]

Pi писал(а):

AD в сообщении #207099 писал(а):

Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством.

А почему не пространством Римана? Или любым другим пространством?

Если бы было сказано "Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством и ничем больше", было бы понятны эти претензии. Вам чем-то не нравится евклидово пространство размерности 1? Или вы считаете что оно(мн-во действ чисел) именно одномерным евклидовым не является?

Pi писал(а):

Множество не может являться чем-то кроме самого себя. Действительные числа имеют мощность пространств любой размерности (установленно еще Кантором).

А поподробнее с этого места, название теоремы или книги со страницей... Каких пространств. Над каким полем...
Приведите биекцию из множества действительных чисел в пространство всех функций заданных на отрезке [0,1]