Определение угла

[Алексей К.]

PAV в сообщении #203225 писал(а):

это правда, но Вы используете знание о всем "прошлом" движения по кривой. Насколько я понимаю заглавный пост автора, у него не предполагается подобного знания, а углы должны определяться только из "мгновенных" и локальных свойств.

Меня повело, видимо, следующее замечание автора

Ulrih в сообщении #202185 писал(а):

приходиться выискивать аналитические условия для расширения МЗФ

Ежели ему это приходится, то, видимо, у него задачки типа мной упомянутых. А иначе --- почему приходится? Чего не хватает?

[Yarkin]

Ulrih в сообщении #202185 писал(а):

Не существует ли способа точно (аналитически) определить угол между двумя пересекающимися прямыми?

Поскольку числа или функции образуют векторное пространство, то в результате действий над ними, мы получаем вектор, который имеет величину и направление. И это может происходить без применения тригонометрических функций. Для отделения значения от угла или угла от значения без тригонометрии не обойтись.

[PAV]

Yarkin в сообщении #203566 писал(а):

Поскольку числа или функции образуют векторное пространство, то в результате действий над ними, мы получаем вектор, который имеет величину и направление.

Изучите определение векторного пространства и убедитесь, что ни "величины", ни "направления" у элементов векторного пространства, вообще говоря, не определяется.

[AD]

Ну направление - это понятно что такое. Это половинка одномерного подпространства.

[Yarkin]

PAV в сообщении #203625 писал(а):

Изучите определение векторного пространства и убедитесь, что ни "величины", ни "направления" у элементов векторного пространства, вообще говоря, не определяется.

Да, но я не могу представить число без этих компонентов.

AD в сообщении #203636 писал(а):

Ну направление - это понятно что такое. Это половинка одномерного подпространства.

Которое можно рассматривать в $n$-мерном пространстве.

[bot]

Yarkin в сообщении #203853 писал(а):

AD в сообщении #203636 писал(а):
Ну направление - это понятно что такое. Это половинка одномерного подпространства.
Которое можно рассматривать в -мерном пространстве

В любом - не обязательно конечномерном.
Угол между векторами, величина вектора и его направление, Yarkin, появятся в любом пространстве, в котором удастся тем или иным способом задать скалярное произведение, то есть билинейную симметрическую положительно определённую форму $(x,y)$. Длина $|x|$ вектора $x$ и угол между векторами определяются формулами $|x|=\sqrt{(x,x)}, \, (x,y)=|x||y|\cos (x,y)$
Далеко не всякое скалярное произведение приводит к длинам и углам, осязаемых органами чувств и даже в 2-мерном случае может запросто отличаться от того, что видит глаз - любой ведь базис можно объявить ортонормированным, отсюда возникает вполне определённое скалярное произведение, из него длины и углы.

Упражнение. Посчитать угол между $1$ и $x$ в пространстве непрерывных на $[0,1]$ функций, если скалярное произведение в нём задано формулой

$(f, g)=\int\limits_0^1 f(t)g(t)dt$

[Yarkin]

bot в сообщении #203896 писал(а):

Далеко не всякое скалярное произведение приводит к длинам и углам

Оно вообще к ним не приводит, поскольку называется скалярным произведением - в нем используются длины и углы, которые оно приводит к скаляру. Обратного пути нет.

[ewert]

Yarkin в сообщении #204456 писал(а):

Обратного пути нет.

Обратноя путя есть. Скалярное произведение порождает норму (сиречь длину), ну а там уж и угол (ежели кому это заблагорассудится).

[Yarkin]

ewert в сообщении #204458 писал(а):

Обратноя путя есть.

Покажите.

ewert в сообщении #204458 писал(а):

Скалярное произведение порождает норму

Скаляр ничего не порождает.

[ewert]

Yarkin в сообщении #204669 писал(а):

Скаляр ничего не порождает.

Тихо-тихо, пожалуйста. Речь шла вовсе не о скаляре, а о скалярном проиизведении.

-------------------------
Хотя bot'а я, честно говоря, в данном случае тоже не понял.

[Ulrih]

Yarkin

Цитата:

Поскольку числа или функции образуют векторное пространство, то в результате действий над ними, мы получаем вектор, который имеет величину и направление.

Действительная или комплексная функция, определенная на измеримом множестве $E$ точек $(x)$ , квадратично интегрируема на $E$, если существует интеграл в смысле Лебега:

$$ \int_{E}{|f(\epsilon)|^2 d \epsilon} \,. $$

Класс $L_2(V)$ всех $\Re$ или $\mathfrak{C}$ квадратично интегрируемых функций в некоторой области соответственно образует бесконечномерное действительное или комплексное унитарное векторное пространство, если рассматривать $f(x),\, g(x), \cdots$ как векторы и определить:
1. вектор-сумму $f(x)+g(x)$
2. Произведение на скаляр $\alpha f(x)$
3. Скалярное (внутреннее) произведение

$$(f,g)= \int_{V}{\gamma f(\epsilon)^*g(\epsilon) d \epsilon}$$

$\gamma(x) -$ действительная весовая функция.



ewert

Цитата:

Yarkin в сообщении #204456 писал(а):

Цитата:

Обратного пути нет.

Обратноя путя есть. Скалярное произведение порождает норму (сиречь длину), ну а там уж и угол (ежели кому это заблагорассудится).

Вот-вот Норма функции (вектора) в $L_2(V)$ есть число(!)

$$ || f || = \sqrt{(f,f)} $$

Мне заблагорассудилось (какое сложное слово). Идея интересная и для экспириенса полезная.

hurtsy
Спасибо за книжку, она расширила мой кругозор.


Всем:
Уважаемые Господа! Как и следовало ожидать решение проблемы нашлось, и гораздо проще чем было до этого!

Теперь во сне я занят тем, что переставляю векторы в правильную конфигурацию

[bot]

ewert писал(а):

Хотя bot'а я, честно говоря, в данном случае тоже не понял.

Не понял, в каком месте не понял. Если в пространстве над вещественным полем задать скалярное произведение, то автоматически получаем норму вектора и углы между векторами. Задание скалярного произведение по существу зависит от того, какой из базисов мы объявим ортонормированным - выбор совершенно произволен.

[Yarkin]

ewert в сообщении #204670 писал(а):

Речь шла вовсе не о скаляре, а о скалярном проиизведении.

Мой вывод цитированый Вами с искажением был о скаляре.

Добавлено спустя 11 минут 23 секунды:

Ulrih писал(а):

[Вот-вот Норма функции (вектора) в $L_2(V)$ есть число(!)

$$ || f || = \sqrt{(f,f)} $$

:

Если между скаляром и числом нет разницы, то определение скаляра надо перенести на определение числа.

[bot]

Ничего никуда переносить не надо. Линейные пространства рассматривают над любыми полями. Элементы поля принято называть скалярами - вот и всё. Бывают ведь поля и нечисловые (то есть не вкладывающиеся в поле комплексных чисел), в частности конечные поля бывают.

[AD]

bot в сообщении #205442 писал(а):

Линейные пространства рассматривают над любыми полями.

А вот скалярные произведения - уже с трудом.

Yarkin в сообщении #204669 писал(а):

Покажите.

$|a|=\sqrt{(a,a)}$
$\cos\angle(a,b)=\frac{(a,b)}{\sqrt{(a,a)(b,b)}}$
Проходили Вы такое?
А скалярное произведение теперь уже всегда (кроме как для школьников) определяется списочком аксиом: линейность, симметричность, положительная определенность. А углы и длины - понятие производное.

Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд:

Yarkin в сообщении #204950 писал(а):

Мой вывод цитированый Вами с искажением был о скаляре.

Че-то я не вижу, где там искажение. Всё буква в букву.