Множества, с большей мощьностью, чем континуум

[AD]

LetsGOX в сообщении #206528 писал(а):

ведь вещественные числа заполнят как раз дырки в комплексных числах

Приведите пример дырки, пожалуйста, чтобы все поняли.
То есть Вы утверждаете, что не все действительные числа являются комплексными?

[Svеznoy]

Кардановский писал(а):

kvanttt: См.Ваш пост от 27.12.98. Впрочем,на то и дискуссии,чтобы в них высказывать спорное и аргументировать против спорного... Что касается,собственно, данной темы,то, на мой взгляд,из ее содержания прямо таки напрашивается следующее: "Существует предел мощности множеств". Иными словами,существует множество с мощностью, более которой,любые множества иметь мощность не могут. Антитеза же этой гипотезе,очевидно,такова: "Предела мощности множеств не существует".... Что верно?

Антитезой обоим вашим утверждениям является утверждение об ограниченности, но бесконечности мощности множеств. Как вы говорите: "существует предел мощности множеств", но это не значит, что за ним: "любые множества иметь мощность не могут", могут - ту же самую (в рамках нынешнего ее определения). Предел в самом понятии мощность, котрое на определенном уровне абстракции потеряет всеобщность и универсальность, так же, как это произошло с понятием количества. Как количество перестало быть мерилом тождества множеств с новыми свойствами, так и мощность перестанет быть мерилом эквивалентности множеств с новыми свойствами. Конечно, точного значения "предела мощности" нет, так же, как нет "предела количества" для конечных множеств. Просто само понятие "мощности" будет означать совсем не то, что означает сейчас. "Предел" мощности множеств уже заложен в определении этого понятия, "более мощные" множества существуют только за пределами его определения. Приписывать этим множествам большую "мощность" можно только в рамках нового определения мощности, которого нет. А в рамках существующего сейчас определения, эти воображаемые множества имеют одну предельную мощность, даже если следуют друг за другом. Хотя, большинство, наверное, скажет вам, что такие множества не существуют, т.к. не удовлетворяют нынешнему определению мощности. Зато, если таковое (новое) появится, будут утверждать, что эти множества существовали всегда.

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #206550 писал(а):

что такие множества не существуют, т.к. не удовлетворяют нынешнему определению мощности.

Такие множества не существуют не потому, что не удовлетворяют определению можности, потому, что их существование противоречит аксиомам.

[AD]

(О, господи, его еще не забанили ...)
Xaositect, думаю, с этим гражданином спорить бесполезно, ибо он считает такой фонтан сознания истинной методологией математики. Ну если и не считает, то прикидывается в целях троллинга.

[Svеznoy]

Xaositect писал(а):

Svеznoy в сообщении #206550 писал(а):

что такие множества не существуют, т.к. не удовлетворяют нынешнему определению мощности.

Такие множества не существуют не потому, что не удовлетворяют определению можности, потому, что их существование противоречит аксиомам.

Если вы подумаете, то поймете, что я сказал тоже самое.
Если можества в рамках данных определений (аксиом) противоречивы, значит они им (определениям) не удовлетворяют. Вы рассматриваете частность, делаете акцент на противоречивости, я на существующих определениях. Разница в том, что акцент на противоречивости основан на непогрешимости определений, их всеобщем, универсальном, тотальном характере. Я называю это блаженным рационализмом или застрахованным догматизмом. Аналогичная ситуация наблюдалась не раз. Не буду упоминать геоцентризм Птоломея и т.п. эгоцентризм и антропоцентризм. Взять того же Кантора. Бесконечные множества считались противоречивыми, т.к. их тождество связывалось с количеством. Естественно в рамках существовавших тогда определений они могли быть определены лишь как противоречие. Тогда такие множеств не существовали. У вас есть гарантии, что то, что не удовлетворяет существующим определениям (аксиомам) не существует в принципе ?

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #206661 писал(а):

Если можества в рамках данных определений (аксиом) противоречивы

Противоречивы не множества, а утверждения о их существовании.

Svеznoy в сообщении #206661 писал(а):

Разница в том, что акцент на противоречивости основан на непогрешимости определений, их всеобщем, универсальном, тотальном характере.

Да, существуют общепринятые аксиомы и общепринятые определения мощности.
Но для доказательства несуществование максимальной мощности нужна лишь одна вещь -- конструкция, позволяющая на основе произвольного множества строить строго более мощное множество.
В случае обычных представлений о множествах и мощности это канторова диагональ. (Для любого множества $x$ $\mathcal{P} x$ имеет большую мощность).
Абсолютно аналогично доказывается несуществование максимального натурального числа (к любому числу можно прибавить единицу и получить большее).
Мне кажется, что любая достаточно естественная мера "мощности" или "сложности" множеств просто обязана иметь такую конструкцию. Для любого множества можно придумать более сложное.

Svеznoy в сообщении #206661 писал(а):

Взять того же Кантора. Бесконечные множества считались противоречивыми, т.к. их тождество связывалось с количеством.

Даже Аристотель признавал право математики на рассуждения с бесконечностью. Что именно Вы имеете в виду в этой фразе?

[LetsGOX]

AD Да вы правы я имел в виду с точность наоборот - комплексные числа закрывают дырки в вещественных, те комплексные мощнее дейтсвиятельных - но это само собой ясно со времен школьной математики
А вот допустим какиенубдь так седенионы закрывают дырки комплексных чисел...

Или я не в теме?

[gris]

LetsGOX писал(а):

AD комплексные мощнее дейтсвиятельных ... седенионы закрывают дырки комплексных чисел...
Или я не в теме?

Седенионы закрывают дырки у октонионов, те у кватернионов, а уж последние у комплексных. Или лучше называть их кмопсельными.

Это разврат какой-то ужо!

[LetsGOX]

Кстати про седенионы и подобные вещи есть замечательная статья http://www.scientific.ru/journal/western/mislink.html

[Pi]

Someone писал(а):

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Просто у каждого кардинального числа имеется набор порядковых типов которые могут иметь множества данной мощности.

Речь идёт, как я понял, о множестве порядковых типов множеств данной мощности.

Да.

Someone писал(а):

Pi в сообщении #205329 писал(а):

В этом смысле (кардинальное число, ординальный тип) есть классы эквивалентности (мощностей).

Мощность (кардинальное число) действительно иногда можно рассматривать как класс эквивалентности (если теория множеств включает классы). Насчёт ординального типа не понял.

Всегда. Мощность это собственно и есть класс эквивалентности множеств по определению
(из определения "мощность - это едиственное общее что есть у всевозможных множеств без знания каких либо других свойств множеств").
То же самое порядковый (или по другому синониму ординальный) тип
(из определения что "порядковое множество - это множество пар элементов (a,b) данного множества" и "порядок есть свойство множества индуцируеммое порядковым множеством").

Someone писал(а):

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Порядковый тип также распадается на класс эквивалентности (типов) в частности на класс вполне упорядоченных множеств - что называется порядковым числом.

Не понял. Два множества с заданными на них отношениями порядка имеют одинаковый порядковый тип, если между этими множествами существует взаимно однозначное соответствие, являющееся изоморфизмом отношений порядка. На какой класс эквивалентности распадается порядковый тип? Причём тут вполне упорядоченные множества?

Они расподаются на рода (типы конфинальности)
вот некотрые для счетных множеств ($\omega,\omega+1,\omega^*,1+\omega^*,\ypsilon, \ypsilon+1,1+\ypsilon+1$,и тд. ). Типы $\omega,\omega+1,n$ (и их арифметические комбинации) есть типы вполне упорядоченных множеств, и называются порядковыми числами.

Someone писал(а):

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Внутри данного класса эквивалентности (мощностей) могут быть определенны все четыре операции арифметики в одном классе эквивалентности (типов).

Какие операции арифметики? Каких типов?

+,-,*,/,^ для любого порядкового числа (и вообще типа). Их можно даже разлагать по степеням и на систему счисления! В общем как обычные арифметические операции только некомутативные.

Someone писал(а):

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Кардинальные числа вполне упорядоченны и не имеют предела (самого большого числа).

... Употребление термина "предел" в таком смысле для меня выглядит весьма экзотическим.

И осталась полной загадкой связь между ординалами и действительными числами.

Насчет предела это вы не правы, для действительного числа его можно записать как ...(9)99,9(9).. (бесконечное количество цифр). Другое дело, что порядковый тип будет не \lambda, а \lambda+1. Но где сказанно что действительное множество имеет какой-то определенный тип? Утверждается только то что действительных числел бесконечно много и это бесконечность есть мощность алеф.

Ведь чем отличается множество действительных чисел от рациональных чисел?
Тем что можно сказать что в нем есть числа не представимые в какой либо целой системе счисления конечным набором знаков после запятой. (числа вида x,y....)
А в рациональных числах для любого числа есть система счисления, где после запятой идет конечное количество знаков отличных от нуля (числа вида x,y), но нельзя представить все числа в одной системе счисления.
Тоже самое для типов действительных чисел.
Поесняю, что тип \lambda утверждает что начиная с некотрого разряда до запятой находится бесконечное количество нулей, то есть все числа представимы в виде 0...0x...y,z...
Тип \lambda+1 утверждает что может быть бесконечное количество знаков до запятой не равных нулю, то есть все числа представимы в виде ...x...y,z... (например макисмальное число "все девятки").

Xaositect в сообщении #206682 писал(а):

Абсолютно аналогично доказывается несуществование максимального натурального числа (к любому числу можно прибавить единицу и получить большее).

Все скзанное выше отностися и к натуральным числам - типы $\omega,\omega+1$ .

[Xaositect]

Pi в сообщении #206708 писал(а):

Но где сказанно что действительное множество имеет какой-то определенный тип, Утверждается только что действительных числел бесконечно много и это бесконечность есть мощность алеф.

Действительные числа обычно рассматриваются вместе со своей алгебраической структурой, в том числе и стандартным линейным порядком.
Вообще предпоследний абзац какой-то невнятный.

[Pi]

Xaositect писал(а):

Pi в сообщении #206708 писал(а):

Но где сказанно что действительное множество имеет какой-то определенный тип? Утверждается только что действительных числел бесконечно много и это бесконечность есть мощность алеф.

Действительные числа обычно рассматриваются вместе со своей алгебраической структурой, в том числе и стандартным линейным порядком.

Если идет речь о множестве имеющем мощность, то какое это отношение имеет к алгебре?
Алгебра и теория множеств это совершенно разные вещи.
"стандартного линейного порядка" у множеств данной мощности не существует. Мы вправе выбрать любой порядок какой нам удобен, и это и называется порядковым типом.

[Xaositect]

У множества данной мощности - разумеется, нет. На множестве действительных чисел можно задать бесконечное множество порядков и получить бесконечное множество порядковых типов.
Я просто не понял, при чем тут действительные числа и бесконечные последовательности цифр. Представление числа в позиционной системе счисления - это как раз алгебраическое свойство.

[Pi]

Я переписал чтоб было лучше понятно тот абзац.

Xaositect в сообщении #206711 писал(а):

Представление числа в позиционной системе счисления

Это представление в том абзаце использовалось для пояснения по аналогии. Чтоб понятней было свойства порядковых типов. Но общее свойство порядковых сохраняеется вне привязок к рассуждениям в позиционной системе счисления.
Запись некотрого числа это вообще-то не алгебра совсем, а чисто свойство порядка. (алгебра - это исключительно операции над множествами). А запись есть просто отражение этого порядка в понятных обозначениях. Так что та запись в абзаце коректна, точна и правильна.

[Xaositect]

Pi в сообщении #206708 писал(а):

Тип \lambda+1 утверждает что может быть бесконечное количество знаков до запятой не равных нулю, то есть все числа представимы в виде ...x...y,z... (например макисмальное число "все девятки").

В типе $\lambda+1$ есть ровно одно такое число.
Ну или можно считать, что все такие числа равны.