shust писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Существует ли предел?
![$$
\lim_{n \to \infty} x_{2n}
$$ $$
\lim_{n \to \infty} x_{2n}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/3/673f7a3cb1e6e92db22a73246a20d3cf82.png)
Существует.
Вопросы, затронутые участниками, обсуждались более года назад в теме
Интересная кривая и особенно в заключительном
посте этой темы.
Ваша последовательность, представляющую собой башню степеней
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
высотой
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, в обозначениях общего действия может быть записана как
![$f_{n}(x) = n[4]x$ $f_{n}(x) = n[4]x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/0/ce039000a91deb139e35936923d917a582.png)
.
Обозначим предельные функции функциональной последовательности
![$f_{n}(x) = n[4]x$ $f_{n}(x) = n[4]x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/0/ce039000a91deb139e35936923d917a582.png)
при четных
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
как
![$S0(x)$ $S0(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/2/e12c5690e9ed973668421cb890cc61ca82.png)
и нечетных
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
как
![$S1(x)$ $S1(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/0/ff0caa34f32cee868d8bfc680440957e82.png)
, т.е.
![$$S0(x) = \lim _{n \to \infty} (2n)[4]x$$ $$S0(x) = \lim _{n \to \infty} (2n)[4]x$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/6/3d6c34e0e079739b913761937b36a10182.png)
и
![$$S1(x) = \lim _{n \to \infty} (2n-1)[4]x$$ $$S1(x) = \lim _{n \to \infty} (2n-1)[4]x$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/5/0a5deb6520ca9ea4d841024485bb97c982.png)
.
Так вот интересующая вас предельная функция и есть
![$Sh0(x)$ $Sh0(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/f/88fd0e198924e5910c004f702e23fa1e82.png)
, и она представлена верхней ветвью изображенной там "интересной кривой", аналогичной той, которая представлена
ASA несколько выше
http://dxdy.ru/post206394.html#206394.
Графики функций
![$f_{2n}(x)$ $f_{2n}(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/1/ff165411badb9013e6bab1281f99c38782.png)
находятся выше предельной кривой
![$S0(x)$ $S0(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/2/e12c5690e9ed973668421cb890cc61ca82.png)
и монотонно стремятся к ней при стремлении параметра
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
к бесконечности.
Можете посмотреть эту тему, в которой и
Профессор Снэйп принимал активное участие.