Минимумы степенных функций

[Профессор Снэйп]

Определим последовательность функций из $[0,+\infty)$ в $[0,+\infty)$ следующим образом:

$$ f_1(x) = x; $$

$$ f_{n+1}(x) = x^{f_n(x)} $$

Значения этих функций в нуле доопределяются по непрерывности.

Пусть $x_n$ --- точка, в которой $f_n$ достигает минимума ($x_1 = 0$, $x_2 = e^{-1}$ и т. д.). Существует ли предел?

$$ \lim_{n \to \infty} x_{2n} $$

[shust]

Профессор Снэйп писал(а):

Существует ли предел?

$$ \lim_{n \to \infty} x_{2n} $$

Существует.

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

Существует.

Почему?

[ShMaxG]

Для любой точки

\[ x_0 \in \left( {0;1} \right) \]

верно, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n \left( {x_0 } \right) = x_0 \]

, и в силу непрерывности функций, существует номер n, начиная с которого производная

\[ f_n^' \left( {x_0 } \right) \]

будет больше нуля (т.к. стремится к единице).
Отсюда, заключаем, что точка минимума, начиная с некоторого n будет находится всегда слева от

\[ {x_0 } \]

. В силу ограниченности снизу нулем и убывания последовательности

\[ x_{2n} \]

заключаем, что предел существует.

[ASA]

ShMaxG писал(а):

Для любой точки

\[ x_0 \in \left( {0;1} \right) \]

верно, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n \left( {x_0 } \right) = x_0 \]

Это противоречит тому, что $f_{2n}(0)=1\,\,\forall n.$

[gris]

Почему противоречит? Последовательность функций неравномерно сходится.
Но по-моему не к $y=x$... Я, правда, в эксели смотрел...

$$f_{2n}(0,5)\to 0,64$$

$$f_{2n}(0,1)\to 0,399$$

Ну если так: пусть

$$\lim f_n(x_0)=A$$

тогда

$$x_0^A=A$$

...


Можно вопрос по теме?

Если взять последовательность функций $g_n(x)$, график которых соединяет точки

$$(0;1),(\frac1n;\frac1n)\text{ и }(1;1)$$

(неохота выписывать формулу двухлинейных кусков)
То ведь для этой последовательности функций соответсвующая последовательность минимумов $x_n\to 0?$
и можно сказать, что на $(0;1]$ последовательность функций неравномерно сходится к $y=x?$

[ASA]

Вот посмотрите здесь http://www.sharemania.ru/0101686. сверху четные номера, снизу нечетные.

Добавлено спустя 3 минуты 19 секунд:

А как рисунок вставить в текст?

Добавлено спустя 4 минуты 41 секунду:

ASA писал(а):

ShMaxG писал(а):

Для любой точки

\[ x_0 \in \left( {0;1} \right) \]

верно, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n \left( {x_0 } \right) = x_0 \]

Это противоречит тому, что $f_{2n}(0)=1\,\,\forall n.$

Хорошо. Пусть не противоречит. Но все равно не верно.

[gris]

Идите по адресу http://radikal.ru/, залейте свою картинку и Вам дастся ссылка на неё. (вторая по списку). Ссылку вставьте в сообщение.Только на Вашей картинке непонятно, где графики с бОльшими номерами.

[ASA]

gris писал(а):

Только на Вашей картинке непонятно, где графики с бОльшими номерами.

Номера функций $f_n(x)$ увеличиваются при подходе к центру рисунка, т.е. четные сверху вниз, нечетные снизу вверх

Спасибо, gris. Это были номера $n$ с 1 по 300. А вот номера с 701 по 1000.

[gris]

ASA, насчёт стремления к $y=x$ я ошибся. В эксели посчитал.
Мне кажется, надо найти функцию

$$ A(x)\big| (x^A=A)$$

[ASA]

И еще. Тоже номера с 701 по 1000 в другом масштабе.

[gris]

Надо найти минимум функции

$$A(x)$$

такой, что для любого

$$x\in(0;1) \quad x^A=A$$

[ИСН]

Вы обсуждаете http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html и её нижнюю границу сходимости, каковая находится при $e^{-e}$.

[ASA]

Судя по всему, последовательность $x_{2n}$ - убывающая. Если это доказать, то докажем и существование предела $x_{2n}$.

[gris]

ИСН, ну вот как всегда. Оказывается всё уже посчитано

Но видно, что минимум равен

$$\approx 0,4$$

при

$$x_0\approx 0,066$$