2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Минимумы степенных функций
Сообщение17.04.2009, 20:55 
Аватара пользователя
Определим последовательность функций из $[0,+\infty)$ в $[0,+\infty)$ следующим образом:

$$
f_1(x) = x;
$$
$$
f_{n+1}(x) = x^{f_n(x)}
$$

Значения этих функций в нуле доопределяются по непрерывности.

Пусть $x_n$ --- точка, в которой $f_n$ достигает минимума ($x_1 = 0$, $x_2 = e^{-1}$ и т. д.). Существует ли предел?

$$
\lim_{n \to \infty} x_{2n}
$$

 
 
 
 Re: Минимумы степенных функций
Сообщение17.04.2009, 23:11 
Профессор Снэйп писал(а):
Существует ли предел?
$$
\lim_{n \to \infty} x_{2n}
$$

Существует.

 
 
 
 Re: Минимумы степенных функций
Сообщение19.04.2009, 18:21 
Аватара пользователя
shust писал(а):
Существует.


Почему?

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 19:19 
Аватара пользователя
Для любой точки \[
x_0  \in \left( {0;1} \right)
\] верно, что \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n \left( {x_0 } \right) = x_0 
\], и в силу непрерывности функций, существует номер n, начиная с которого производная \[
f_n^' \left( {x_0 } \right)
\] будет больше нуля (т.к. стремится к единице).
Отсюда, заключаем, что точка минимума, начиная с некоторого n будет находится всегда слева от \[
{x_0 }
\]. В силу ограниченности снизу нулем и убывания последовательности \[
x_{2n} 
\] заключаем, что предел существует.

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 10:42 
ShMaxG писал(а):
Для любой точки \[
x_0  \in \left( {0;1} \right)
\] верно, что \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n \left( {x_0 } \right) = x_0 
\]

Это противоречит тому, что $f_{2n}(0)=1\,\,\forall n.$

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 11:27 
Аватара пользователя
Почему противоречит? Последовательность функций неравномерно сходится.
Но по-моему не к $y=x$... Я, правда, в эксели смотрел...

$$f_{2n}(0,5)\to 0,64$$
$$f_{2n}(0,1)\to 0,399$$

Ну если так: пусть $$\lim f_n(x_0)=A$$
тогда $$x_0^A=A$$
...


Можно вопрос по теме?

Если взять последовательность функций $g_n(x)$, график которых соединяет точки $$(0;1),(\frac1n;\frac1n)\text{ и }(1;1)$$
(неохота выписывать формулу двухлинейных кусков)
То ведь для этой последовательности функций соответсвующая последовательность минимумов $x_n\to 0?$
и можно сказать, что на $(0;1]$ последовательность функций неравномерно сходится к $y=x?$

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 11:42 
Вот посмотрите здесь http://www.sharemania.ru/0101686. сверху четные номера, снизу нечетные.

Добавлено спустя 3 минуты 19 секунд:

А как рисунок вставить в текст?

Добавлено спустя 4 минуты 41 секунду:

ASA писал(а):
ShMaxG писал(а):
Для любой точки \[
x_0  \in \left( {0;1} \right)
\] верно, что \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n \left( {x_0 } \right) = x_0 
\]

Это противоречит тому, что $f_{2n}(0)=1\,\,\forall n.$

Хорошо. Пусть не противоречит. Но все равно не верно.

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 11:45 
Аватара пользователя
Идите по адресу http://radikal.ru/, залейте свою картинку и Вам дастся ссылка на неё. (вторая по списку). Ссылку вставьте в сообщение.Только на Вашей картинке непонятно, где графики с бОльшими номерами.

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 11:57 
gris писал(а):
Только на Вашей картинке непонятно, где графики с бОльшими номерами.

Номера функций $f_n(x)$ увеличиваются при подходе к центру рисунка, т.е. четные сверху вниз, нечетные снизу вверх
Изображение
Спасибо, gris. Это были номера $n$ с 1 по 300. А вот номера с 701 по 1000.
Изображение

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 12:09 
Аватара пользователя
ASA, насчёт стремления к $y=x$ я ошибся. В эксели посчитал.
Мне кажется, надо найти функцию $$ A(x)\big| (x^A=A)$$

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 12:14 
И еще. Тоже номера с 701 по 1000 в другом масштабе.
Изображение

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 12:20 
Аватара пользователя
Надо найти минимум функции $$A(x)$$ такой, что для любого $$x\in(0;1) \quad x^A=A$$

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 12:21 
Аватара пользователя
Вы обсуждаете http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html и её нижнюю границу сходимости, каковая находится при $e^{-e}$.

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 12:24 
Судя по всему, последовательность $x_{2n}$ - убывающая. Если это доказать, то докажем и существование предела $x_{2n}$.

 
 
 
 
Сообщение20.04.2009, 12:38 
Аватара пользователя
ИСН, ну вот как всегда. Оказывается всё уже посчитано :(

Но видно, что минимум равен $$\approx 0,4$$ при $$x_0\approx 0,066$$

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group