Сохранение гамма-распределения при трансформации

[Neytrall]

Спасибо. До этого я дошёл. Но я не понимаю вопроса в задании. Как я нахожу $a$ и $b$ при которых сохранится вид распределения?
Мне сказали, что у каждого распределения есть свои свойства и условия, но мы пока что учили лишь общие вещи такие как
$\lim_{x\to -\infty} F_X(x) = 0,\; \lim_{x\to \infty}F_X(x) = 1$
$F_X(x)$ - неубывающая и непрерывна справа.
Вот и всё(((

[--mS--]

Боюсь, пока Вы не подставите то, что следует, в указанную формулу, обсуждать нечего. Получите плотность - нужно будет выяснить, при каких $a$ и $b$ это плотность гамма-распределения.

[Neytrall]

Сейчас попробую

$\frac{1}{|a|}f_x(\frac{t-b}{a})=\frac{1}{|a|} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}(\frac{t-b}{a})^{\alpha -1}e^{-\beta\frac{t-b}{a}}$

так?

[ewert]

В принципе, так, только тут масса совершенно ненужных деталей. Никому не должен быть интересен постоянный множитель перед иксами -- это всего лишь нормировочная константа, которая определяется автоматически. Самое главное, что $b$ заведомо обязана быть равной нулю, иначе множество возможных значений СВ не будет совпадать с $[0;+\infty).$ После чего всем ежам понятно, что перемасштабирование коэффициентом $a$ на общем виде формулы никак не сказывается.

[Neytrall]

А разве $b$ не должно быть просто меньше чем $t$.
Почему он именно ноль?

[--mS--]

Neytrall писал(а):

Сейчас попробую

$\frac{1}{|a|}f_x(\frac{t-b}{a})=\frac{1}{|a|} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}(\frac{t-b}{a})^{\alpha -1}e^{-\beta\frac{t-b}{a}}$

так?

Нет, не так. В правой части записи $f_X(t)$ переменная $t$ встречается 4 раза, а Вы подставили $(t-b)/a$ только вместо двух вхождений буквы $t$. Ещё раз: просто подставьте вместо $t$ величину $\frac{x-b}{a}$ и умножьте плотность на $1/a$:

$$ f_X(t)=\begin{cases} 0, & t \leqslant 0; \cr \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \ t^{\alpha-1} \ e^{-\beta t}, & t>0. \end{cases} $$

Продолжите:
$ f_Y(x)=\frac{1}{a} f_X\left(\frac{x-b}{a}\right) = ... $

[Neytrall]

а почему я вижу только две $t$?
$t^{\alpha-1}$ и $e^{-\beta t}$

[ewert]

Neytrall писал(а):

А разве $b$ не должно быть просто меньше чем $t$.
Почему он именно ноль?

Потому. Что если иксы заполняют собой правую полуось, то игреки будут заполнять $[b;\infty).$

[--mS--]

Neytrall писал(а):

а почему я вижу только две $t$?
$t^{\alpha-1}$ и $e^{-\beta t}$

А $t>0$ и $t<0$, а также фигурную скобку видите?

[Neytrall]

или вы имеете ввиду это:

$$ f_X(\frac{t-b}{a})=\begin{cases} 0, & \frac{t-b}{a} \leqslant 0; \cr \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \ (\frac{t-b}{a})^{\alpha-1} \ e^{-\beta \frac{t-b}{a}}, & \frac{t-b}{a}>0. \end{cases} $$

[ewert]

Ровно это. При $b\neq0$ ограничения на $t$ оказываются неправильными.

[Neytrall]

А у экспоненциального и нормального распределения при линейной трансформации такие же условия?

[--mS--]

Neytrall писал(а):

или вы имеете ввиду это:

$$ f_X(\frac{t-b}{a})=\begin{cases} 0, & \frac{t-b}{a} \leqslant 0; \cr \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \ (\frac{t-b}{a})^{\alpha-1} \ e^{-\beta \frac{t-b}{a}}, & \frac{t-b}{a}>0. \end{cases} $$

Именно, и ещё на $a$ поделить. И не только я, но и ewert уже две страницы это имеет в виду. Итак, при каких $t$ плотность равна $C_1\cdot (t-b)^{\alpha-1} \ e^{-C_2 t}$ ?

Впрочем, уже, кажется, можно не отвечать. Нет, у нормального распределения область значений случайной величины от линейной трансформации не изменится. Догадайтесь, почему.