Сохранение гамма-распределения при трансформации

[ewert]

Neytrall в сообщении #204340 писал(а):

А теперь надо как-то это совместить и взять интегралл, верно?

Не совместить, а подставить, и уж, конечно, никаких интегралллллов не тррррребуется.

[Neytrall]

Я подставил. И как мне из этого выразить a и b?

[--mS--]

Neytrall писал(а):

Я подставил. И как мне из этого выразить a и b?

Результата подстановки пока не видно. Где Вы выписали $f_Y(x)$, найденную для $Y=aX+b$ по формуле $f_Y(x)=\frac{1}{|a|}f_X(\frac{x-b}{a})$?

$a$ и $b$ нужно выражать из условия, что полученная плотность $Y$ есть плотность гамма-распределения. Но для этого нужно плотность $Y$ записать.

P.S. Аругмент у функции обычно записывают в скобках. Индекс внизу у плотности - метка, чтобы знать, для какой случайной величины это плотность, когда таких величин в рассмотрении несколько.

[ewert]

--mS-- писал(а):

. Где Вы выписали $f_Y(x)$,

Ехидно эдак. Всё же $f_Y$ -- всё-таки от $y$.

[--mS--]

ewert писал(а):

--mS-- писал(а):

. Где Вы выписали $f_Y(x)$,

Ехидно эдак. Всё же $f_Y$ -- всё-таки от $y$.

С чего бы это?

[ewert]

как минимум эстетика этого требует.

[--mS--]

Эстетика - эстетикой, а переменная слева и справа одна и та же

[ewert]

Это формально она одна и та же, а по существу -- издевательство $\copyright$. Поскольку параллельно с этим идёт соответствующая замена переменных, и рассогласование в обозначениях способно запросто сбить с толку.

[Neytrall]

$f_Y(x)=\frac{1}{|a|}f_X(\frac{x-b}{a})$

Я эту формулу впервые вижу((

[ewert]

ну с этим трудно бороться. Хоть какие-то формулы преобразования распределений в курсе всё ж таки должны были быть.

Хотя я, каюсь, и сам этим временами пренебрегаю. Ваш пример убеждает меня, что я в таких случаях неправ.

[Neytrall]

Я просто о трансформациях знаю мало, на уровне : профессор посвятил теме 2-3 минуты, 5 минут распинался как это сложно и что мы скорее всего этого не сделаем, но попытаться надо(((

Добавлено спустя 9 минут 31 секунду:

Покажите, пожалуйста, как это делается (пошагово) с Гаммой, а остальные я сам попробую.

[ewert]

Neytrall в сообщении #204421 писал(а):

Покажите, пожалуйста, как это делается (пошагово) с Гаммой,

Ну примите к сведению хотя бы это (уж извините за нескромность):

ewert в сообщении #204319 писал(а):

Ненулевые $b$ запрещены, т.к. меняют множество возможных значений величины. По тем же причинам запрещены отрицательные $a$. А всё остальное (кроме, естественно, $a=0$) разрешено, т.к. изменение масштаба вносит изменение только в коэффициент под экспонентой (ну и ещё в нормировочную константу, но она не принципиальна).

По поводу "всего остального" -- просто подставьте в исходную плотность распределения и убедитесь, что ничего принципиально не изменится.

А насчёт правил подстановки -- тут уж надобно их хоть сколько-то знать, тут уж увы.

[Neytrall]

Цитата:

Ненулевые $b$ запрещены, т.к. меняют множество возможных значений величины. По тем же причинам запрещены отрицательные $a$. А всё остальное (кроме, естественно, $a=0$) разрешено, т.к. изменение масштаба вносит изменение только в коэффициент под экспонентой (ну и ещё в нормировочную константу, но она не принципиальна).

Это относится только к Гамма-распределению или нет?

[ewert]

Что -- "это"?... Если, например, о запрещённости ненулевых бэ, то это относится ко всем распределениям, у которых плотность вероятности левее нуля есть тождественный ноль, правее же -- нигде не ноль.

[--mS--]

Neytrall писал(а):

$f_Y(x)=\frac{1}{|a|}f_X(\frac{x-b}{a})$

Я эту формулу впервые вижу((

Какая разница, сколько раз Вы её видите. Воспользоваться-то ей можете или нет?

Формула элементарно получается из функции распределения: при $a > 0$

$$ F_Y(x) = \mathsf P(aX+b < x) = \mathsf P\left(X < \frac{x-b}{a}\right) = F_X\left(\frac{x-b}{a}\right).$$

Если плотность у $X$ есть, то она будет и у $Y$ и равна производной от функции распределения:

$$ f_Y(x) = \frac{d}{dx} F_Y(x) = \frac{d}{dx} F_X\left(\frac{x-b}{a}\right) = \frac1a F'_X\left(\frac{x-b}{a}\right) = \frac1a f_X\left(\frac{x-b}{a}\right). $$

Аналогично при $a<0$.

Не понимаю Ваших проблем с плотностью гамма. Давайте я напишу $f_X(t)$, а Вы $\frac 1a f_X\left(\frac{x-b}{a}\right)$. Просто подставите вместо $t$ величину $\frac{x-b}{a}$ и умножите плотность на $1/a$:

$$ f_X(t)=\begin{cases} 0, & t \leqslant 0; \cr \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \ t^{\alpha-1} \ e^{-\beta t}, & t>0. \end{cases} $$