Что такое НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Потому, что ряды появляются гораздо позже экспоненты. И опять же: совершенно непонятно, зачем вообще нужен именно такой ряд, и не видны свойства определяемой им функции.

Как это не видны? $(e^x)' = e^x$ сразу видно.

[RIP]

Опять-таки кстати, но я смутно помню, что в школе я в какой-то популярной книжке читал, что исторически число $e$ возникло, грубо говоря, как предел $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$; просто для составления таблиц логарифмов это основание является самым естественным.

[Brukvalub]

Ну вот, очередной тролль "обломался" и оставил нас наедине с самими собой.

[Алексей К.]

hsepec в сообщении #203948 писал(а):

Можно и "Диаметр шляпки гвоздя подошвы левого ботинка".
А все-таки если по ТЕМЕ!

Если по теме, то, во-первых, Вам следует последить за используемыми словами и словосочетаниями. Подумать, например, чем отличается
$\mbox{ от $\mbox{,
или просто "радиуса круга". Первое выражение трудно наполнить смыслом, и трудно удержаться от соблазна поязвить.
Чуть менее корявое выражение "площадь интеграла" ewertу, с присущей ему гениальностью, удалось наполнить неким смыслом. Заметьте, что ни в одной книге про интегралы Вы такой фразы не встречали.

Что касается числа $e$, то, наверное, кто-то, балуясь с графиками функций $y=2^x$, $y=10^x$, $y=3^x$, $y=2.5^x$, $y=2.8^x$, $y=2.7^x$, $y=2.71828^x$ и графиками их производных, обнаружил, что в последнем случае графики удивительно совпадают (подобие переходит в одинаковость). Т.е., скорее, он такое число старательно подбирал. Покопавшись глубже (типа сам себе олимпиадную задачку придумал), он увидел, что это забавное число обладает (естественно) и всякими другими свойствами, в частности, есть вот такой вот предел. И есть в каком-то смысле оптимальное основание системы счисления (жаль, что не целое) . И прочая, и прочая...

Так мне кажется...

[Xaositect]

ewert в сообщении #203967 писал(а):

Потому, что ряды появляются гораздо позже экспоненты. И опять же: совершенно непонятно, зачем вообще нужен именно такой ряд, и не видны свойства определяемой им функции.

Ну почему же, свойство $f'(x) = f(x)$ очень хорошо видно.

[ewert]

Да, это-то видно, и даже можно сознательно сочинить ряд именно под это свойство. Но, во-первых, оно не единственное базовое: уже $e^{x+y}=e^xe^y$ так просто не вытянешь. Во-вторых, само понятие ряда гораздо сложнее, чем хотя бы эти два свойства; так зачем же чесать правой ногой левое ухо?

[Xaositect]

Можно через ряд Тейлора:
$e^{x+y} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (e^x)^{(k)}\frac{y^k}{k!} = e^x e^y$
Но это непоследовательно, согласен.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Во-вторых, само понятие ряда гораздо сложнее, чем хотя бы эти два свойства; так зачем же чесать правой ногой левое ухо?

Понятие суммы ряда не сложнее понятия предела. А число $e$ тут предлагают именно через предел определять. Да и даже если бы $e$ удалось как-то по другому задать, то $e^x$ для иррациональных $x$ потом бы всё равно пришлось через предел (перед этим доказывая, что функция $a^x$, заданная изначально для $x \in \mathbb{Q}$, доопределима до непрерывной функции на действительной прямой).

Можно ещё так: $e^x = \cos(ix) - i\sin (ix)$. Ну а синус и косинус --- через прямоугольные треугольники и аналитическое продолжение

[Алексей К.]

hsepec в сообщении #203931 писал(а):

Алексею К.
Так все-таки - не ВЕЛИЧИНА, а безразмерное СООТНОШЕНИЕ?!

Только сейчас заметил обращённый ко мне вопрос.
Мне слова "безразмерная величина" нисколько не режут слух. А "соотношение" я бы заменил "отношением". И вообще, занимаясь математикой и изучая функцию, мы работаем просто с числами. В некой задаче с физическим содержанием у Вас в качестве числа --- аргумента логарифма --- возникнут ранее упомянутые мной отношения. Естественно, безразмерные. Даже количество распавшихся атомов возникнет, скорее всего, в виде доли от их изначального количества.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #203995 писал(а):

Понятие суммы ряда не сложнее понятия предела.

Ну что Вы такое говорите. Для определения сходимости ряда понятие предела необходимо, обратное же неверно. Причём эти пределы приходится применять в достаточно заковыристых комбинациях, я уж не говорю о том, что для сознательного исследования на сходимость требуется понятие интеграла, что само по себе не вполне сахар, а уж тем паче когда тот интеграл -- несобственный. Никакого сравнения.

Профессор Снэйп в сообщении #203995 писал(а):

$e^x$ для иррациональных $x$ потом бы всё равно пришлось через предел (перед этим доказывая, что функция $a^x$, заданная изначально для $x \in \mathbb{Q}$, доопределима до непрерывной функции на действительной прямой).

Вот ровно так показательная функция и определяется. Если, конечно, говорить не о трюкачествах, а по существу.

[Лиля]

Из Истории :
Первые чила $e$ были найдены Бернули во время решения задачи:
Человек платит 1го Января 1у монету в банк банк же гарантирует выплату номинального процента $p=100\%$ в год -после $n$ выплат будет выплачено $K_{n}=K_{0}(1+p/100)^n$ где $p$ процент по вылате $K_{0}$ стартовый капитал, в случае Бернули $\ \ K_{0}=1, \ \ p=100, $ если процеты выплачиваються раз в год если $n$ раз в год то $p=100/n$
-если проценты выплачиваються раз в год то $K_{1}=1*(1+1)^1=2{,}00$
-если проценты выплачиваються 2 раза в год (раз в пол года) то $K_{2}=1*(1+1/2)^2=2{,}25$
-если б проценты выплачивалиcь ежедневно $K_{365}=1*(1+1/365)^{365}=2{,}714567$

[AD]

Brukvalub в сообщении #203979 писал(а):

Ну вот, очередной тролль "обломался" и оставил нас наедине с самими собой.

Ну и хорошо. Есть где пофлеймить.

[ewert]

да ужо нет где -- обломился ж ужо... а какой кайф-то был...

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Для определения сходимости ряда понятие предела необходимо, обратное же неверно.

Ну да, конечно. Сумма ряда --- это предел последовательности частичных сумм. Надо знать не только, что такое предел, но и ещё что такое сумма. Это гораздо, гораздо сложнее

ewert писал(а):

Причём эти пределы приходится применять в достаточно заковыристых комбинациях...

А если просто пределы, то ничего заковыристого. Я же говорю, самое сложное --- это операция сложения!

ewert писал(а):

...не говорю о том, что для сознательного исследования на сходимость требуется понятие интеграла...

Ага, точно. Интеграл по дискретной мере, жуть какая!

ewert писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #203995 писал(а):

$e^x$ для иррациональных $x$ потом бы всё равно пришлось через предел (перед этим доказывая, что функция $a^x$, заданная изначально для $x \in \mathbb{Q}$, доопределима до непрерывной функции на действительной прямой).

Вот ровно так показательная функция и определяется. Если, конечно, говорить не о трюкачествах, а по существу.

Да ну почему "трюкачество"? Когда мы рассматриваем сумму степенного ряда, никакой показательной функции ещё нет. Это потом про функцию суммы можно доказывать, что она "показательная".

В общем, Вы меня не убедили.

Кстати, если уж заговорили об определении экспоненты. Я уже вроде спрашивал об этом здесь на форуме, но давно и не помню где. А может даже и не здесь спрашивал.

Справедливы равенства

$$ e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n+1} $$

Последовательность под первым пределом монотонно стремится к $e^x$ снизу при всех $x$. Вторая монотонно стремится сверху, но не при всех $x$, а лишь при некоторых. В частности, при $x=1$ это так (вроде через эти две монотонности как раз и доказывается сходимость второго замечательного предела). А вот при каких $x$ в точности вторая последовательность монотонно убывает?

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #204092 писал(а):

А вот при каких $x$ в точности вторая последовательность монотонно убывает?

При $0<x\le2$. См. Полиа Г., Сеге Г. — Задачи и теоремы из анализа (часть 1), Отдел I, задача 172.