Периодические функции

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

Имеется ввиду, что это не все периоды? Пока для меня загадка.

Конечно не все. Например, число $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ будет периодом функции $f$.

Вы бы, прежде чем что-то утверждать, пытались сначала доказать это, что ли? Меньше ляпов бы было!

Добавлено спустя 12 минут 13 секунд:

Dandan писал(а):

Начнем с этого

lofar писал(а):

$\mathbb R_{\mathbb Q}$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств: $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$.

Почему так можно сделать?

Ну, теорема такая есть, о том, что у каждого векторного пространства существует базис (его ещё часто называют базис Гамеля). Причём если пространство бесконечно и его мощность больше мощности множества поля, над которым пространство рассматривается, то мощность базиса равна мощности пространства.

Таким образом, у пространства $\mathbb{R}_\mathbb{Q}$ есть континуальный базис. Разделим его на три непустые части и для каждой части возьмём линейную оболочку. Обозначаем эти оболочки через $A$, $B$ и $C$ соответственно. После этого бурно радуемся.

Dandan писал(а):

Пусть $A=\{p\sqrt{2}, p\in \mathbb Q\}, B=\{p\sqrt{3}, p\in \mathbb Q\}$ и $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$ для какого-то $C$. Возьмем $c_1 \in C$. Далее возьмем $c_2$ из $\overline{A \oplus B \oplus <c_1>} \cap C$ (черта означает дополнение). Далее возьмем $c_3$ из $\overline{A \oplus B \oplus <c_1, c_2>} \cap C$. И т.д. Если на каком-то месте остановимся, значит $C$ имеет конечный базис, значит и $\mathbb R_{\mathbb Q}$ тоже, что сомнительно (все сомнения развеял бы конкретный пример ). Если мы не остановимся, то получим последовательность $c_n$. Но тогда вообще любое число из $\mathbb R$ можно по разному представлять комбинацией $c_n$. А, правда с использованием бесконечных комбинаций. Такие значит нельзя. Ну, вобщем, понятно.

Бр-р-р... Набор слов почище всякого смысла! Я долго думал, за что тут можно уцепиться, но так и не нашёл. Просто какой-то малоосмысленный набор слов.

Вы, Dandan, похоже, просто не знаете, что такое базис Гамеля.

[xaxa3217]

1) $f(x)=\sin(x)-x,g(x)=\sin(x)+x$ их сумма очевидно есть периодическая функция, тогда как:
если $\sin(x+T)-x-T\equiv\sin(x)-x$ для некоторого $T>0$
$\sin(x+T)\equiv \sin(x)+T => \sin(\frac{\pi}{2}+T)>1$

2) а почему бы не взять за $H$ произвольную инъекцию $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, тогда из $H(f(x),g(x))=H(f(x+T),g(x+T))$ сразу же следует $f(x)=f(x+T),g(x)=g(x+T)$, для любого $x$.

[AD]

xaxa3217 в сообщении #203839 писал(а):

1) $f(x)=\sin(x)-x,g(x)=\sin(x)+x$ их сумма очевидно есть периодическая функция, тогда как:
если $\sin(x+T)-x-T\equiv\sin(x)-x$ для некоторого $T>0$
$\sin(x+T)\equiv \sin(x)+T => \sin(\frac{\pi}{2}+T)>1$

Не, что сумма непериодических функций бывает периодической - это и так все знают. Еще проще: $x+(-x)=0$.

xaxa3217 в сообщении #203839 писал(а):

2) а почему бы не взять за $H$ произвольную инъекцию $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, тогда из $H(f(x),g(x))=H(f(x+T),g(x+T))$ сразу же следует $f(x)=f(x+T),g(x)=g(x+T)$, для любого $x$.

Похоже o_O

[xaxa3217]

Ну ладно, а со вторым пунктом http://dxdy.ru/post202970.html#202970 lofar с биекцией опередил.

[AD]

Да, я тоже прозевал.

[Профессор Снэйп]

xaxa3217 писал(а):

1) $f(x)=\sin(x)-x,g(x)=\sin(x)+x$ их сумма очевидно есть периодическая функция, тогда как:
если $\sin(x+T)-x-T\equiv\sin(x)-x$ для некоторого $T>0$
$\sin(x+T)\equiv \sin(x)+T => \sin(\frac{\pi}{2}+T)>1$

По условию задачи $f$ и $g$ должны быть периодическими.

Вот ещё одна задачка, полегче (в смысле не требующая знания бесконечномерных векторных пространств, а лишь самых начальных знаний матана). Пусть $f$ и $g$ --- периодические функции, для которых $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-g(x)) = 0$; доказать, что $f=g$.