Существует ли...

[Лиля]

Скажите может ктонить предложить способ построения такой функции?

[Профессор Снэйп]

Лиля писал(а):

Скажите может ктонить предложить способ построения такой функции?

А что значит "способ построения"? Один из способов Вам уже предложили. Берём базисы, устанавливаем между ними биекцию и продолжаем эту биекцию до изоморфизма между $\langle \mathbb{R}^2, + \rangle$ и $\langle \mathbb{R}, + \rangle$. Вас этот способ устраивает?

[Руст]

Профессор Снэйп писал(а):

А если всё-таки обратиться к конструктивным действительным числам... Есть ли там вообще базис в конструктивистском смысле? Я вот что-то не уверен, хотя наверняка утверждать не берусь. Если взять конструктивистский универсум вычислимых действительных чисел и посмотреть на него с классической точки зрения, то базис, безусловно, есть. Но можно ли этот базис построить конструктивно? Существует ли алгоритм его построения?

Хотя базис счётный, но нет конструктивного базиса.

Цитата:

А это доказано (то, что без аксиомы выбора доказать существование базиса в $\mathbb{R}_\mathbb{Q}$ невозможно)?

Без аксиомы выбора сами действительные числа уже нечто другое. О существовании базиса можно утверждать только основываясь на этой аксиоме, или эквивалентных ей утверждениях.
Вообще то я тут не спец. Может Someone лучше прояснит суть дела.

[Профессор Снэйп]

Руст писал(а):

Без аксиомы выбора сами действительные числа уже нечто другое.

Да не, вроде то же самое. Дедекиндовы сечения или бесконечные десятичные дроби аксиому выбора не привлекают.

Хотя я тоже не шибко большой спец. Подождём, пока придёт Someone

P. S. Кстати, существование просто биекции между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ (то есть равномощность этих множеств) вроде можно доказать без аксиомы выбора.

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, существование просто биекции между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ (то есть равномощность этих множеств) вроде можно доказать без аксиомы выбора.

Ну да, на уровне десятичных дробей вопрос решается вполне.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, существование просто биекции между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ (то есть равномощность этих множеств) вроде можно доказать без аксиомы выбора.

Ну да, на уровне десятичных дробей вопрос решается вполне.

А сечения сводятся к дробям. Достаточно из рациональных чисел оставить в сечении лишь те, у которых в знаменателе стоит степень десятки.

[AD]

Не уверен, что мы друг друга поняли, ну да ладно.

[Профессор Снэйп]

Кстати, биекция между $\mathbb{N}^2$ и $\mathbb{N}$ вообще задаётся явной формулой. И при всём при этом утверждение о том, что $|A^2|=|A|$ для любого бесконечного $A$, эквивалентно аксиоме выбора. Удивительный факт!

[AD]

Чёто я подумал так ... Профессор Снэйп, а Вы знаете хоть одно бесконечное множество $A$, для которого биекцию $A^2$ c $A$ не понятно как строить? (Обращаюсь ко всем, конечно)

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Не уверен, что мы друг друга поняли, ну да ладно.

Ну, не знаю. Я так понял, что Вы хотели сказать, что если задавать действительные числа через бесконечные десятичные дроби, то биекция между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ строится тривиально и никакой аксиомы выбора не требует. В ответ на это я всего лишь заметил, что если задавать действительные числа через дедекиндовы сечения, то нужная биекция также строится тривиально (через сведение к случаю десятичных дробей).

Добавлено спустя 48 секунд:

AD писал(а):

Чёто я подумал так ... Профессор Снэйп, а Вы знаете хоть одно бесконечное множество $A$, для которого биекцию $A^2$ c $A$ не понятно как строить? (Обращаюсь ко всем, конечно)

Для $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ как строить?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #203531 писал(а):

если задавать действительные числа через дедекиндовы сечения, то нужная биекция также строится тривиально (через сведение к случаю десятичных дробей).

И через фундаментальные последовательности -- тоже. Естественно, раз уж все эти подходы эквивалентны.

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Для $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ как строить?

$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?

Добавлено спустя 39 секунд:

Кстати, а теорема Кантора-Бернштейна ведь аксиому выбора не использует? Можно ее юзать?

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Профессор Снэйп писал(а):

AD писал(а):

Не уверен, что мы друг друга поняли, ну да ладно.

Ну, не знаю.

Ну ладно, это я Ваш ответ значит не понял. Проехали.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?

А почему это так?

AD писал(а):

Кстати, а теорема Кантора-Бернштейна ведь аксиому выбора не использует? Можно ее юзать?

Теорема Кантора-Бернштейна --- да, не использует. Можно юзать.

[AD]

Профессор Снэйп в сообщении #203537 писал(а):

А почему это так?

Ну каждое множество состоит из левой половины и правой.
$A\mapsto (A\cap(-\infty,0);A\cap[0,+\infty))$,
$(B,C)\mapsto B\cup C$.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп писал(а):

AD писал(а):

$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?

А почему это так?

Бр-р-р, туплю. Это очевидно. Снимаю вопрос.

Ладно, допустим, это так. А что дальше?