2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Существует ли биекция $f$ из $R^2$ на $R$, для которой $f(x+y) = f(x)+f(y)$?
Да 63%  63%  [ 29 ]
Нет 15%  15%  [ 7 ]
Затрудняюсь ответить 22%  22%  [ 10 ]
Всего голосов : 46
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:10 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Скажите может ктонить предложить способ построения такой функции? :roll: :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:15 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Лиля писал(а):
Скажите может ктонить предложить способ построения такой функции? :roll: :lol:


А что значит "способ построения"? Один из способов Вам уже предложили. Берём базисы, устанавливаем между ними биекцию и продолжаем эту биекцию до изоморфизма между $\langle \mathbb{R}^2, + \rangle$ и $\langle \mathbb{R}, + \rangle$. Вас этот способ устраивает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
А если всё-таки обратиться к конструктивным действительным числам... Есть ли там вообще базис в конструктивистском смысле? Я вот что-то не уверен, хотя наверняка утверждать не берусь. Если взять конструктивистский универсум вычислимых действительных чисел и посмотреть на него с классической точки зрения, то базис, безусловно, есть. Но можно ли этот базис построить конструктивно? Существует ли алгоритм его построения?

Хотя базис счётный, но нет конструктивного базиса.

Цитата:
А это доказано (то, что без аксиомы выбора доказать существование базиса в $\mathbb{R}_\mathbb{Q}$ невозможно)?

Без аксиомы выбора сами действительные числа уже нечто другое. О существовании базиса можно утверждать только основываясь на этой аксиоме, или эквивалентных ей утверждениях.
Вообще то я тут не спец. Может Someone лучше прояснит суть дела.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:27 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Руст писал(а):
Без аксиомы выбора сами действительные числа уже нечто другое.


Да не, вроде то же самое. Дедекиндовы сечения или бесконечные десятичные дроби аксиому выбора не привлекают.

Хотя я тоже не шибко большой спец. Подождём, пока придёт Someone :)

P. S. Кстати, существование просто биекции между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ (то есть равномощность этих множеств) вроде можно доказать без аксиомы выбора.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:43 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп писал(а):
Кстати, существование просто биекции между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ (то есть равномощность этих множеств) вроде можно доказать без аксиомы выбора.
Ну да, на уровне десятичных дробей вопрос решается вполне.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:50 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AD писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Кстати, существование просто биекции между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ (то есть равномощность этих множеств) вроде можно доказать без аксиомы выбора.
Ну да, на уровне десятичных дробей вопрос решается вполне.


А сечения сводятся к дробям. Достаточно из рациональных чисел оставить в сечении лишь те, у которых в знаменателе стоит степень десятки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:51 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Не уверен, что мы друг друга поняли, ну да ладно. :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Кстати, биекция между $\mathbb{N}^2$ и $\mathbb{N}$ вообще задаётся явной формулой. И при всём при этом утверждение о том, что $|A^2|=|A|$ для любого бесконечного $A$, эквивалентно аксиоме выбора. Удивительный факт!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:55 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Чёто я подумал так ... Профессор Снэйп, а Вы знаете хоть одно бесконечное множество $A$, для которого биекцию $A^2$ c $A$ не понятно как строить? (Обращаюсь ко всем, конечно)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:57 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AD писал(а):
Не уверен, что мы друг друга поняли, ну да ладно. :roll:


Ну, не знаю. Я так понял, что Вы хотели сказать, что если задавать действительные числа через бесконечные десятичные дроби, то биекция между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ строится тривиально и никакой аксиомы выбора не требует. В ответ на это я всего лишь заметил, что если задавать действительные числа через дедекиндовы сечения, то нужная биекция также строится тривиально (через сведение к случаю десятичных дробей).

Добавлено спустя 48 секунд:

AD писал(а):
Чёто я подумал так ... Профессор Снэйп, а Вы знаете хоть одно бесконечное множество $A$, для которого биекцию $A^2$ c $A$ не понятно как строить? (Обращаюсь ко всем, конечно)


Для $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ как строить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 20:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Профессор Снэйп в сообщении #203531 писал(а):
если задавать действительные числа через дедекиндовы сечения, то нужная биекция также строится тривиально (через сведение к случаю десятичных дробей).

И через фундаментальные последовательности -- тоже. Естественно, раз уж все эти подходы эквивалентны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 21:03 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп писал(а):
Для $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ как строить?
$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?

Добавлено спустя 39 секунд:

Кстати, а теорема Кантора-Бернштейна ведь аксиому выбора не использует? Можно ее юзать?

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Профессор Снэйп писал(а):
AD писал(а):
Не уверен, что мы друг друга поняли, ну да ладно. :roll:


Ну, не знаю.
Ну ладно, это я Ваш ответ значит не понял. Проехали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 21:05 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AD писал(а):
$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?


А почему это так?

AD писал(а):
Кстати, а теорема Кантора-Бернштейна ведь аксиому выбора не использует? Можно ее юзать?


Теорема Кантора-Бернштейна --- да, не использует. Можно юзать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 21:07 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп в сообщении #203537 писал(а):
А почему это так?
Ну каждое множество состоит из левой половины и правой.
$A\mapsto (A\cap(-\infty,0);A\cap[0,+\infty))$,
$(B,C)\mapsto B\cup C$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 21:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Профессор Снэйп писал(а):
AD писал(а):
$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?


А почему это так?


Бр-р-р, туплю. Это очевидно. Снимаю вопрос.

Ладно, допустим, это так. А что дальше?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 90 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group