2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Существует ли биекция $f$ из $R^2$ на $R$, для которой $f(x+y) = f(x)+f(y)$?
Да 63%  63%  [ 29 ]
Нет 15%  15%  [ 7 ]
Затрудняюсь ответить 22%  22%  [ 10 ]
Всего голосов : 46
 
 
Сообщение16.04.2009, 17:12 


18/09/08
425
epros в сообщении #205374 писал(а):
Конструктивная логика - не троичная.

А тогда какая?

Я это прочел в
Конструктивная математическая логика. Новиков.1977.


epros в сообщении #205374 писал(а):
"это никому не нужно", да "этим никто не пользуется"

В отношении шум/польза. Шуму многовато, а пользы маловато.
Поэтому переводить все темы на обсуждение конструктивисткой логики это и есть шум.
Я свое мнение сказал - я не вижу сдесь пользы и какого-то принципиального прорыва в будущем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2009, 20:51 
Заслуженный участник


18/03/07
1068
Pi писал(а):
epros в сообщении #205374 писал(а):
Конструктивная логика - не троичная.

А тогда какая?

Я это прочел в
Конструктивная математическая логика. Новиков.1977.


Вот к чему приводит плохое качество сканирования :twisted: :).

Счётнозначная. Точной конечной модели, увы, нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2009, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10983
Pi писал(а):
Поэтому переводить все темы на обсуждение конструктивисткой логики это и есть шум.

Это в мою сторону что-ли наезд? Я редко выступаю именно инициатором "перевода темы на обсуждение конструктивисткой логики": как правило инициирует кто-то другой, часто - критики конструктивизма. Я вовсе не сторонник того, чтобы все темы переводились на это, но в интересующих меня обсуждениях, естественно, участвую.

Pi писал(а):
Я свое мнение сказал - я не вижу сдесь пользы и какого-то принципиального прорыва в будущем.

Это Ваша проблема. Не только Ваша, конечно, такая проблема есть у многих. Можно, наверное, даже сказать, что где-то это проблема образования. Но уж точно это не проблема самого конструктивного анализа.

 Профиль  
                  
 
 Изоморфность R и C.
Сообщение30.04.2009, 16:16 


15/03/07
128
Изоморфны ли группы $(R,+)$ и $(C,+)$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
http://dxdy.ru/topic21507.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 17:09 


15/03/07
128
RIP писал(а):
http://dxdy.ru/topic21507.html

Да, ужасно. А я еще пытался доказывать и был настроен на то, что не существует этого изоморфизма.

Добавлено спустя 24 минуты 12 секунд:

Пытался рассуждать так.
Если изоморфизм существует, то т.к. $C=R+iR$, то аналогичное представление
имеет и $R=R_1+R_2$, т.е. для всякого $x\in R $ имеем единственность представление $x=a+b, a\in R_1,  b\in R_2$. Далее показал, что если $c\in  R_i$, то $qc \in R_i$ для всякого рационального $q$. Тем самым оказалось, что подгруппы $R_i$ должны быть всюду плотны. Используя всюду плотность и их континуальность, наивно пытался построить противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 19:26 


20/07/07
834
Вопрос можно переформулировать так: может ли на комплексной плоскости C быть задана линейная функция f(x), всегда принимающая вещественные значения? Ответ: нет. Все линейные функции на С можно записать в виде

$$f(z)=az+b$$

Легко доказывается, что такая функция имеет хотя бы одно не вещественное значение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Nxx в сообщении #209851 писал(а):
Вопрос можно переформулировать так

Нельзя.
$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, но $f(z) = \overline{z}$ не представляетя в таком виде.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 19:44 


20/07/07
834
Хорошо, тогда вопрос можно поставить так: можно ли задать обратимую линейную функцию на С, такую, что принимает только вещественные значения?

Все линейные функции на С можно представить в виде

$$f(x)=a \text{Re}(x)+b \text{Im}(x) +c$$

Легко доказать, что если b не равно нулю, то она принимает хотя бы одно невещественное значение. Но если b равно нулю, то функция необратима, так как не зависит от мнимой части x.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Стоп, что-то я туплю
Вопрос в том, существует ли изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$.
Почему он обязательно линейной функцией должен задаваться? Требования непрерывности же нет.
Вот, скажем, $f(z) = \begin{cases}z,\ z\in \mathbb{Q}[i]\\0\ otherwise\end{cases}$ удовлетворяет соотношению $f(x+y) = f(x) + f(y)$, но нелинейна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 20:08 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Xaositect писал(а):
Стоп, что-то я туплю


Ага, есть немного :) Линейность над $\mathbb{Q}$ перепутали с линейностью над $\mathbb{C}$.

Линейность подразумевает равенство $f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)$. А скаляры $\lambda$ и $\mu$ берутся из какого-то поля, которое надо явно указывать :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 20:22 


20/07/07
834
Xaositect писал(а):
Стоп, что-то я туплю
Вопрос в том, существует ли изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$.
Почему он обязательно линейной функцией должен задаваться? Требования непрерывности же нет.
Вот, скажем, $f(z) = \begin{cases}z,\ z\in \mathbb{Q}[i]\\0\ otherwise\end{cases}$ удовлетворяет соотношению $f(x+y) = f(x) + f(y)$, но нелинейна.



Не удовлевтворяет: $$f(2 + \pi) \ne f(2) + f(\pi)$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Nxx в сообщении #209872 писал(а):
Не удовлевтворяет: $$f(2 + \pi) \ne f(2) + f(\pi)$$

Действительно, не удовлетворяет.
Попытался упростить конструкцию с базисом Гамеля, не получилось. Наверно, и не получится ее упростить.

ddn в сообщении #203296 писал(а):
Разумеется можно.
Относительно поля рациональных чисел (без нормы - с конечными суммами) и $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ имеют одинаковую, а именно, континуальную размерность.
Нужно только провести взаимно однозначное соответствие $g$ между элементами их базисов и определить значение отображения $f$ на каждом базисном векторе $e$ линейного пространства $\mathbb{R}^2$ как базисный вектор $e'=g(e)$ линейного пространства $\mathbb{R}$, умноженный на некоторое (для каждого свое) рационально ненулевое число $q=q(e)$:
$f(e)=q(e)\cdot g(e)$.
По закону линейности, отображение $f$ непротиворечиво и единственно определяется на всем $\mathbb{R}^2$.
Это и будет искомая линейная биекция.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 20:41 


20/07/07
834
Да чепуха это написана.

Любая функция, удовлетворяющая
$f(x+y) = f(x) + f(y)$

на С будет иметь вид:

$$f(x)=a \text{Re}(x)+b \text{Im}(x) +c$$

Ну а дальше легко доказывается, что она либо необратима, либо имеет вещественные значения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Nxx в сообщении #209878 писал(а):

Любая функция, удовлетворяющая
$f(x+y) = f(x) + f(y)$

на С будет иметь вид:

$$f(x)=a \text{Re}(x)+b \text{Im}(x) +c$$

Ну мы же на математическом форуме.
Доказательство?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 90 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group