Определение угла

[Ulrih]

Столкнулся с проблемой, типа: для нахождения угла использую ту или иную формулу тригонометрии (теорема косинусов, синусов). Для определения величины угла нужно прибегать к понятию арк-функций. Как мы знаем, арк-функции, их множество значений, ограничено. Что в моей задаче не очень хорошо, так как приходиться выискивать аналитические условия для расширения МЗФ.

Вопрос:
Не существует ли способа точно (аналитически) определить угол между двумя пересекающимися прямыми? О первой прямой мы знаем все, о второй прямой знания не полны (знаем только через какую точку она проходит, и что подчиняется некоторым условиям).

[Brukvalub]

Ulrih в сообщении #202185 писал(а):

Вопрос:
Не существует ли способа точно (аналитически) определить угол между двумя пересекающимися прямыми?

Такой способ ученым известен! Вот он:http://www.pm298.ru/prostr3.php

[Ulrih]

Так такую формулу я знаю. Но там опять-таки $acos \phi $ появляется...
А мне бы тоже самое, но только без арк-функций.

[gris]

А действительно интересно. Во все формулы аналитической геометрии в декартовой системе координат угол входит не непосредственно, а только через функции - синус, косинус, тангенс.

Я что-то не помню ни одной формулы типа

$$\alpha=\frac S{2R^2}$$

. Ну кроме приближённых при малых углах. В полярных координатах используется "чистый" угол. Но только, по-моему, в начале координат.

Может быть дело в размерности? В физике есть такие формулы, в которые входят линейные и угловые величины без их функций. Например, выражение линейной скорости через угловую. Но в физике радиан безразмерен.

Интересно, с чем это связано и существует ли в аналитической геометрии формула с чистыми углами? ( ну кроме бесконечного ряда или приближённых)

[Ulrih]

С чем связанно появление $\sin \, \cos \, \tg$ в обычной и привычной математике это понятно. Так определено внутреннее (скалярное) произведение в Гильбертовом пространстве $\Re_{\infty}$.

$$a \equiv \int_{(\infty)} f(x) g(x) dx $$

Для $\Re_3$ (Декартово пространство), внутренне произведение переходит в вид, который мы все знаем еще со школьной скамьи:

$$\vec a \cdot \vec b \equiv \sum_{\alpha}{a_{\alpha} b_{\alpha}} = | \vec a | | \vec b | \cos (\vec a, \vec b) \qquad \alpha = \{x,y,z\} $$

А вот определить аналитическую геометрию без внутреннего произведения... такого в университетах не рассказывают.

[Ulrih]

Может можно построить пространство для трех точек $(x_1,x_2,x_3)$, в котором метрикой будет не $ d(x,y) $, а угол $\beta (x_1,x_2,x_3)$. В смысле того что в этом пространстве хорошо измеряется не расстояние, которое можно померить "линейкой", а угол --- хорошо измеряемый "транспортиром".

[PAV]

Насколько я понял, Вас не устраивает многозначность обратных тригонометрических функций и необходимость выбирать из бесконечного множества ветвей одну. Но это неотъемлемое свойство углов, так уж они устроены, что $0$, $2\pi$ и $4\pi$ - это одно и то же. Никакая процедура не может за Вас выбрать ту ветвь, которая Вам нужна.

В похожей ситуации, когда мне нужно было обходить некоторую плоскую кривую и следить за углом наклона касательной, нужно было в каждой точке самостоятельно выбирать, какое значение угла взять, чтобы он изменялся непрерывно. Приходилось брать близкую к текущей более раннюю точку кривой и выбирать такое значение угла, которое наиболее близко к значению в предыдущей точке. Но базовое значение приходится все равно считать обратными тригонометрическими функциями.

[hurtsy]

PAV в сообщении #202810 писал(а):

В похожей ситуации, когда мне нужно было обходить некоторую плоскую кривую и следить за углом наклона касательной, нужно было в каждой точке самостоятельно выбирать, какое значение угла взять, чтобы он изменялся непрерывно.

Мне кажется, что сравнение по модулю $2\pi$ могло бы внести ясность в поставленный вопрос, как следует из рассуждений предшедствующих цитате.

Вопрос к PAV. Нет ли на форуме средства для "дехеширования" абревиатур? Я не могу однозначно понять примененную 'Ulrih' абревиатуру МЗФ. С уважением,

[PAV]

hurtsy в сообщении #203059 писал(а):

Нет ли на форуме средства для "дехеширования" абревиатур? Я не могу однозначно понять примененную 'Ulrih' абревиатуру МЗФ.

Нет, использование тех или иных аббревиатур, обозначений, сокращений и т.д. - это личное дело авторов сообщений. В случае возникновения вопросов их можно задать автору. В данном случае имеется в виду "множество значений функции".

[hurtsy]

PAV в сообщении #203080 писал(а):

В данном случае имеется в виду "множество значений функции".

Спасибо. Меня смутили прописные буквы в абревиатуре. Воистину души авторов для Вас открытая книга.

PAV в сообщении #203080 писал(а):

В случае возникновения вопросов их можно задать автору.

Да, но с учетом правил

PAV в сообщении #203080 писал(а):

"Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа". Р.Шекли

Brukvalub в сообщении #202196 писал(а):

пытаясь оказать помощь, помни народную истину:
"Ни одно доброе дело не останется безнаказанным"...

PAV в сообщении #203080 писал(а):

- это личное дело авторов сообщений

Я замечтался. Хорошо бы иметь базу абревиатур, если не глобальную, на форум, то хоть локальную, на тему. С уважением,

[Pi]

Помнится родное определение угла давалось Проективной геометрии.

[hurtsy]

Pi в сообщении #203141 писал(а):

Помнится родное определение угла давалось Проективной геометрии.

Совершенно верно. Спасибо. Вот, что дал Googl
Буземан Г., Келли П. — Проективная геометрия и проективные метрики

Проективная геометрия и проективные метрики
Буземан Г., Келли П.


Мера угла в гиперболической геометрии 218
Мера угла в эвклидовой геометрии 175
Мера угла в эллиптической геометрии 263
Мера угла, как двойное отношение 288

Надеюсь автор темы прочитает и напишет свои выводы. С уважением,

[Алексей К.]

PAV в сообщении #202810 писал(а):

... так уж они (углы) устроены, что $0$, $2\pi$ и $4\pi$ - это одно и то же. Никакая процедура не может за Вас выбрать ту ветвь, которая Вам нужна.

Или фраза некорректна, или некорректно моё обобщение этой фразы?

Ведь, например, для Архимедовой спирали $p(\varphi)=a\varphi$ мы для этих углов получим разные точки. И наклон касательной, $\tau(\varphi)$, выражается обычно простой функцией $\tau(\varphi)=\varphi+f(\varphi)$, где второе слагаемое никакого выбора ветвей не требует (главная ветвь сработет, на то она и главная). Для лог. спирали это $\tau(\varphi)=\varphi+\mathrm{const}$ Можно, конечно, её исказить, определив её через триг. функции, но более естественно было бы так не поступать. И тогда, например, $\tau(\varphi_2)-\tau(\varphi_1)$ будет в чистом виде выдавать полный поворот кривой, к которому опрерация $\pm2k\pi$ ну никак неприменима.

Собственно, я говорю всего лишь о том, что при езде на мотоцикле по кругу для упомянутых углов $0$, $2\pi$ и $4\pi$ потребуется разное количество бензина...

[PAV]

Алексей К.
это правда, но Вы используете знание о всем "прошлом" движения по кривой. Насколько я понимаю заглавный пост автора, у него не предполагается подобного знания, а углы должны определяться только из "мгновенных" и локальных свойств.

[Ulrih]

PAV
Алексей К.

Цитата:

Насколько я понимаю заглавный пост автора, у него не предполагается подобного знания, а углы должны определяться только из "мгновенных" и локальных свойств.

Все правильно. Хотя динамика точек имеет место? интерес на данный момент представляет именно такая задача.

А как брать книжки с http://lib.mexmat.ru/