что следует из теоремы Геделя

[Someone]

epros в сообщении #202432 писал(а):

Если "приклеить ярлык" означает "приклеить этикетку с названием", то что в этом плохого? Я просто объяснил, к чему конкретно готов приклеивать этикетку с названием "актуальная бесконечность".

Я ведь не спрашивал Вас, к чему Вы хотите приклеить этикетку, это с самого начала было ясно. Я спрашивал у Вас, что эта этикетка означает в применении к теории множеств. Подчеркну: в применении к самой теории множеств как формальной теории, а не к её общепринятой интерпретации. Ответа пока нет.

epros в сообщении #202432 писал(а):

я на приоритет в определении понятия актуальной бесконечности не претендую

Но Ваше "определение", безусловно, является Вашей интеллектуальной собственностью.

epros в сообщении #202432 писал(а):

С точки зрения математической логики (а именно - исчисления предикатов первого порядка, хоть классического, хоть конструктивного) "бесконечность" является характеристикой свойства

Долго искал в книжке Клини (С.К.Клини. Математическая логика. "Мир", Москва, 1973), в главе "Исчисление предикатов", такую характеристику свойства, как "бесконечность". Безуспешно. Может быть, Вы найдёте?

epros в сообщении #202432 писал(а):

свойства в логике первого порядка не могут интерпретироваться как объекты

Тем не менее, множества в ZFC явно определяются как свойства: запись $x=\{y:\varphi(y)\}$ означает, что $y\in x\Leftrightarrow\varphi(y)$. Или Вы хотите сказать, что язык теории множеств не является языком первого порядка?

epros в сообщении #202432 писал(а):

утверждение об актуальном существовании бесконечного объекта

Вы начали подменять понятия.

http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/9_01/06_Pob.htm писал(а):

Под актуальной бесконечностью понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно.

Никто не заставляет Вас понимать бесконечное множество как завершённое, элементы которого представлены одновременно. Вы ведь не считаете конструктивные действительные числа существующими одновременно, тем не менее, это не мешает Вам рассматривать различные совокупности конструктивных действительных чисел и функции, определённые на этих совокупностях. Теория множеств в этом отношении нисколько не хуже. Или Вы воображаете, что наличие имени для объекта требует его завершённости? Я ведь приводил пример с множеством голов, забитых футболистом за время его футбольной карьеры.

epros в сообщении #202432 писал(а):

Исключение пятого постулата Евклида из геометрии больше похоже на "сужение" аксиоматики, чем на "расширение".

Речь идёт, как я понял, не о расширении аксиоматики, а о расширении понятия "геометрия".

[Pi]

Nxx в сообщении #201825 писал(а):

Понимаете ли, в природе нет бесконечных объектов, бесконечных множеств

Бездоказательно. Легче доказать что скорее вас нет в природе...

epros в сообщении #202432 писал(а):

Исключение пятого постулата Евклида из геометрии больше похоже на "сужение" аксиоматики, чем на "расширение".

Никто его не исключал. Его наоборот добавили, до Лабочевского "пятый постулат" являлся однозначной теоремой который никто не мог доказать. Просто появилось несколько равновозможных вариантов постулата для разных геометрий.

Someone в сообщении #202464 писал(а):

http://www.philosophy.nsc.ru/journals/p ... 06_Pob.htm писал(а):
Под актуальной бесконечностью понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно.


Никто не заставляет Вас понимать бесконечное множество как завершённое, элементы которого представлены одновременно. Вы ведь не считаете конструктивные действительные числа существующими одновременно, тем не менее, это не мешает Вам рассматривать различные совокупности конструктивных действительных чисел и функции, определённые на этих совокупностях. Теория множеств в этом отношении нисколько не хуже. Или Вы воображаете, что наличие имени для объекта требует его завершённости?

Согласен, понятие бесконечность и одновременное существование это совсем разные понятия. Никак не привязанные друг к другу. Возьмем скажем время в физике, понятия времени в ОТО и КМ совсем разные понятия, но и от них не требуются одновременное существование всех моментов времени, хоть оно и бесконечно.

[naiv1]

Pi в сообщении #202511 писал(а):

Возьмем скажем время в физике, понятия времени в ОТО и КМ совсем разные понятия, но и от них не требуются одновременное существование всех моментов времени, хоть оно и бесконечно.

Не могли бы Вы пояснить в каком смысле "оно [время] и бесконечно" ?

[Инт]

Xaositect писал(а):

Инт в сообщении #201923 писал(а):

Это не имеет отношение к вопросу веры. Вы знаете или верите в то, что

$$17=(4+i)(4-i)$$

? Знаете или верите в то, что 17 простое число в арифметике натуральных чисел?

Ну, для меня это выглядит примерно так: я знаю, что если арифметика натуральных чисел непротиворечива, то 17-простое число в арифметике натуральных чисел, и верю, что арифметика непротиворечива, потому что считаю, что она правильно описывает представление человека о количестве.

Да не уж то? Берём конкретно 17 груш. Разбейте их множество на целое число множеств, содержащих одинаковое количество элементов. Вера в непротиворечивость арифметики здесь совершенно не нужна.

Кроме того, относительно бесконечных множеств, натуральный ряд существует в нашем воображении. Мы это знаем. И это знание абсолютно. Аксиомы, формулируемые для натурального ряда, должны извлекаться из него как из конкретного объекта, а не приписываться ему номинально. И по определению, эти аксиомы непротиворечивы, и мы можем знать из абсолютно, т.е. попросту знать их, а не верить в них.

[epros]

Someone писал(а):

что эта этикетка означает в применении к теории множеств

Э-эээ... Я в недоумении, ибо таких философских вопросов не понимаю. С моей точки зрения определить понятие - значит указать способ проверки того, подходит ли термин к выбранному объекту или нет. Например, имея определение понятия "собака", мы сможем для любого выбранного животного сказать, можно ли его называть собакой. Я Вам дал такое определение, которое для любого выбранного множества (а ведь в теории множеств все объекты - множества) позволяет определить, можно ли его называть "актуальной бесконечностью".

Someone писал(а):

epros в сообщении #202432 писал(а):

С точки зрения математической логики (а именно - исчисления предикатов первого порядка, хоть классического, хоть конструктивного) "бесконечность" является характеристикой свойства

Долго искал в книжке Клини (С.К.Клини. Математическая логика. "Мир", Москва, 1973), в главе "Исчисление предикатов", такую характеристику свойства, как "бесконечность". Безуспешно. Может быть, Вы найдёте?

Если порыться в собственных извилинах, то наверняка найдётся. Вот мы с Вами обсуждали "бесконечность" $\mathbb{N}$ и Вы мне доказывали, что понимание конструктивистов ничем не отличется от классического, ибо они тоже признают его "бесконечность" и, конечно же, раз они говорят об $\mathbb{N}$, значит подразумевают его существование (правда, как свойства - это был Ваш собственный комментарий). Так вот, что такое "конечность" или "бесконечность", как не характеристика рассматриваемого объекта?

А теперь подумайте, можно ли в теории, формализованной в логике первого порядка, приписать какие либо характеристики свойству? Например, вот Вам свойство:
$isPrime(x)$ - "число $x$ является простым".
Как бы Вы записали утверждение о бесконечности типа простых чисел, не прибегая к аксиоматике теории множеств? Может быть как-то так:
$isInfinite(isPrime)$?
Увы, логика первого порядка не позволяет подставлять предикатные символы вместо переменных в другие предикаты.

Someone писал(а):

epros в сообщении #202432 писал(а):

свойства в логике первого порядка не могут интерпретироваться как объекты

Тем не менее, множества в ZFC явно определяются как свойства: запись $x=\{y:\varphi(y)\}$ означает, что $y\in x\Leftrightarrow\varphi(y)$. Или Вы хотите сказать, что язык теории множеств не является языком первого порядка?

Я хочу сказать, что в ZFC множества рассматриваются не только как свойства, но и как объекты. А в конструктивном смысле типы объектов сами по себе объектами не являются. Хотя все объекты конечного типа можно собрать в совокупность, которую допустимо рассматривать как объект.

Someone писал(а):

epros в сообщении #202432 писал(а):

утверждение об актуальном существовании бесконечного объекта

Вы начали подменять понятия.

http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/9_01/06_Pob.htm писал(а):

Под актуальной бесконечностью понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно.

Никто не заставляет Вас понимать бесконечное множество как завершённое, элементы которого представлены одновременно. Вы ведь не считаете конструктивные действительные числа существующими одновременно, тем не менее, это не мешает Вам рассматривать различные совокупности конструктивных действительных чисел и функции, определённые на этих совокупностях. Теория множеств в этом отношении нисколько не хуже. Или Вы воображаете, что наличие имени для объекта требует его завершённости? Я ведь приводил пример с множеством голов, забитых футболистом за время его футбольной карьеры.

Это Вы сейчас апеллируете не к тому. Из философских рассуждений вокруг актуальной бесконечности действительно мало что можно почерпнуть. Как я понимаю, в этом и состояла Ваша претензия к этому понятию: что оно "не математическое". А я Вам говорю, что оно математически определимо. Но Вы сейчас пытаетесь опять вернуть нас к расплывчатым философским рассуждениям вместо чётких математических понятий. "Завершённость" или "незавершённость" множества - это и есть расплывчатые философские рассуждения. Но они не умаляют того факта, что существуют чёткие математические отличия между объектами предметной теории и свойствами объектов. И если не ставить одни в "почти однозначное" соответствие другим с помощью специальных аксиом (как это делает ZFC), то утверждение об актуальном (т.е. в предметной теории) существовании бесконечности (т.е. объекта, содержащего все объекты бесконечного типа) является нетривиальной особенностью теории.

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

Pi писал(а):

до Лабочевского "пятый постулат" являлся однозначной теоремой который никто не мог доказать

Ну и ну
А я-то полагал, что "теоремой" по определению называется то, что доказуемо в теории.

[Alexey Romanov]

Цитата:

А в конструктивном смысле типы объектов сами по себе объектами не являются.

Вот с этим большая часть конструктивистов не согласится. Поскольку у типов есть конечные описания, они являются математическими объектами.

Добавлено спустя 5 минут 58 секунд:

Цитату из Кушнера Вам уже приводили в соседней теме. И у Бишопа, и у Мартин-Лёфа Вы увидите то же самое.

[epros]

Alexey Romanov писал(а):

Цитата:

А в конструктивном смысле типы объектов сами по себе объектами не являются.

Вот с этим большая часть конструктивистов не согласится. Поскольку у типов есть конечные описания, они являются математическими объектами.

Добавлено спустя 5 минут 58 секунд:

Цитату из Кушнера Вам уже приводили в соседней теме. И у Бишопа, и у Мартин-Лёфа Вы увидите то же самое.

Имеющий уши, да услышит (то, что я уже сто раз сказал):
В предметной теории (например, в арифметике) тип предметных объектов (например, $\mathbb{N}$) не получится определить как конструктивный объект. Но, естественно, тип предметных объектов является объектом метатеории.

[Alexey Romanov]

Вы считаете, что конструктивная теория типов и конструктивная теория множеств -- не предметные теории? Если да, то почему?

[epros]

Alexey Romanov писал(а):

Конструктивная теория типов и конструктивная теория множеств -- предметные теории.

И что дальше? Метатетория, описывающая язык и синтаксис арифметики Пеано, - это тоже в некотором смысле "предметная теория". Вот только её "предметом" являются не натуральные числа, а буковки, которыми записываются формулы арифметики. Тип "являться натуральным числом" представляет собой объект этой теории, но он - не объект арифметики.

[Alexey Romanov]

В классической математике множества -- не объект арифметики, а объект теории множеств.

В конструктивной математике множества -- не объект арифметики, а объект теории множеств.

В конструктивной математике типы -- не объект арифметики, а объект теории типов.

В чём разница?

[epros]

Alexey Romanov писал(а):

В классической математике множества -- не объект арифметики, а объект теории множеств.

В конструктивной математике множества -- не объект арифметики, а объект теории множеств.

В конструктивной математике типы -- не объект арифметики, а объект теории типов.

В чём разница?

В том, что тип вообще говоря не является объектом той же теории, для объектов которой он является "типом", а множество (теории множеств) является объектом той же теории, объекты которой собраны в это множество.

Кстати, эта ситуация очень похожа на ситуацию с "классами" NBG, которые не всегда являются множествами. Но при этом теория множеств аксиоматически допускает существование таких множеств, которые конструктивно как объекты той же теории неопределимы: речь как раз о бесконечностях.

[Alexey Romanov]

Цитата:

а множество (теории множеств) является объектом той же теории, объекты которой собраны в это множество.

$\mathbb N$ -- вовсе не объект арифметики Пеано.

Цитата:

Кстати, эта ситуация очень похожа на ситуацию с "классами" NBG, которые не всегда являются множествами.

Но объектами теории $NBG$ они являются.

[epros]

Alexey Romanov писал(а):

Цитата:

В том, что тип вообще говоря не является объектом той же теории, для объектов которой он является "типом", а множество (теории множеств) является объектом той же теории, объекты которой собраны в это множество.

$\mathbb N$ -- вовсе не объект арифметики Пеано.

А я такое говорил? Арифметика Пеано - конструктивная теория (если не считать закона исключённого третьего), поэтому в ней не может быть такого объекта. Но $\mathbb N$ - это объект ZFC, хотя его элементы - тоже объекты ZFC.

Добавлено спустя 3 минуты 32 секунды:

Alexey Romanov писал(а):

Цитата:

Кстати, эта ситуация очень похожа на ситуацию с "классами" NBG, которые не всегда являются множествами.

Но объектами теории $NBG$ они являются.

NBG - тоже неконструктивная теория, поэтому она легко допускает такие финты.

[Alexey Romanov]

epros в сообщении #202756 писал(а):

Но $\mathbb N$ - это объект ZFC, хотя его элементы - тоже объекты ZFC.

И любой тип (в том числе тип натуральных чисел $\mathrm{Nat}$) -- объект конструктивной теории типов, и объекты этого типа (натуральные числа) -- тоже.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

Вы думаете, что в конструктивной теории множеств элементы множеств -- не множества?

[epros]

Alexey Romanov писал(а):

epros в сообщении #202756 писал(а):

Но $\mathbb N$ - это объект ZFC, хотя его элементы - тоже объекты ZFC.

И любой тип (в том числе тип натуральных чисел $\mathrm{Nat}$) -- объект конструктивной теории типов, и объекты этого типа (натуральные числа) -- тоже.

Вы про иерархию типов что-нибудь слышали?