что следует из теоремы Геделя

[Pi]

epros в сообщении #203126 писал(а):

Есть бесконечный тип "натуральное число". К нему относятся такие объекты (строки): "1", "2", "3" и т.п. Есть другой тип (конечный): "натуральное число не больше трёх". К нему относятся только три указанных объекта (без "и т.п."). А есть такой объект того же уровня иерархии - "список натуральных чисел не более трёх": строка "1,2,3". Последний объект "содержит" все объекты последнего типа в том смысле, что они извлекаются из списка соответствующим алгоритмом. Как видите, здесь слово "содержит" не подразумевает принадлежность объекта к типу (объекту следующего уровня иерархии).

Это "натуральное число" не имеет никакого отношения к натуральным числам $\mathbb{N}$. Вы просто абзываете совершенно разные понятия одним словом и пытаетесь их приравнять. Сущьность равенства объектов не в том что они имеют одинаковое название, а в том что у них полностью совпадают свойства. Вообще, всегда лучше вводимые понятия называть по типу "абэвэгэдека". Так вот то что вы ввели есть не множество, а множество подмножеств. Ваша абэвэгэдека = множество подмножеств натуральных числел $\mathbb{N}$
Вы рассматриваете совсем разные понятия, с разной иерархией типов.

[Alexey Romanov]

epros в сообщении #203126 писал(а):

Последний объект "содержит" все объекты последнего типа в том смысле, что они извлекаются из списка соответствующим алгоритмом. Как видите, здесь слово "содержит" не подразумевает принадлежность объекта к типу (объекту следующего уровня иерархии).

Так вот в чём дело-то! Конструктивистам это отношение "содержит как часть строки" просто куда менее интересно, чем принадлежность к типу и они его не используют. По крайней мере ни одного серьёзного конструктивиста, для которого это отношение играло бы серьёзную роль, мне читать не доводилось.

[epros]

Alexey Romanov писал(а):

Так вот в чём дело-то! Конструктивистам это отношение "содержит как часть строки" просто куда менее интересно, чем принадлежность к типу и они его не используют. По крайней мере ни одного серьёзного конструктивиста, для которого это отношение играло бы серьёзную роль, мне читать не доводилось.

Ну, не знаю кому и насколько "интересно" и насколько "серьёзна" роль этого отношения для кого-то там, но по-моему, если вспомнить о том, что все математические объекты, по большому счёту, это строки символов (ибо математика - это "игра в буковки"), то отношения такого рода должны быть интересны.

В конце концов, такие объекты, как списки, разделённые запятыми, не я придумал. И словообороты о том, что элемент списка "содержится" в нём или "принадлежит" ему, тоже не я первый и не я последний употребил. Кстати, если элементы конечного множества записываются строками, то само множество в традиционной нотации записывается очень похоже - одно строкой, только там ещё фигурные скобки по краям. И я не вижу смысла растаскивать конечные множества по разным уровням иерархии типов: Как объекты $a_1$, $a_2$ или $a_3$ существуют в предметном мире, так и их совокупность $\{a_1,a_2,a_3\}$ существует в том же самом предметном мире (чему есть множество наглядных примеров). А вот с бесконечными типами сложнее: Процедура, которая генерирует (или распознаёт) объекты соответствующего типа, это совсем не то же самое, что совокупность объектов данного типа.

Добавлено спустя 7 минут 31 секунду:

Pi писал(а):

Это "натуральное число" не имеет никакого отношения к натуральным числам $\mathbb{N}$. Вы просто абзываете совершенно разные понятия одним словом и пытаетесь их приравнять.

Я не понял, что разное я обзываю одним словом?

Pi писал(а):

Так вот то что вы ввели есть не множество, а множество подмножеств. Ваша абэвэгэдека = множество подмножеств натуральных числел $\mathbb{N}$

Не понял, каких подмножеств?

[Pi]

epros в сообщении #203197 писал(а):

Я не понял, что разное я обзываю одним словом?

Множество и множество его подмножеств.

epros в сообщении #203197 писал(а):

Не понял, каких подмножеств?

То что вы описали.

epros в сообщении #203197 писал(а):

И я не вижу смысла растаскивать конечные множества по разным уровням иерархии типов: Как объекты $a_1$, $a_2$ или $a_3$ существуют в предметном мире, так и их совокупность $\{a_1,a_2,a_3\}существует в том же самом предметном мире$

именно что в теории типов это разные типы. Да и в любой другой.
А то что вы не видете смысла, так это ваше субъективное мнение (называется валюнтаризм), ошибочное, и не совпадающее ни с кем.

epros писал(а):

Есть бесконечный тип "натуральное число".

В теории множеств нет такого типа.

epros писал(а):

Но тут как раз возникает вопрос о том, в каком смысле "существуют" типы, из которого и вырастают различия между "актуальной" и "потенциальной" бесконечностью.

Но вобще то я понял что вы и меете в виду и превиду это на нормальный язык
В теории множеств существует два порядковых рода: ограниченной бесконечности и не ограниченной бесконечности.
1. Порядковый тип первого рода - с ограниченной бесконечностю (типа \omega+1), у него есть граница - например проективная бесконечность в проективной геометрии, вы это назвали нестандартно "актуальной" бесконечностью.
2. Порядковый тип второго рода - с неограниченной бесконечностю (типа \omega), у него нет границы - например обычное множество чисел (где всегда есть номер в разряда с которого идут ведущие нули) - используется в теории пределов, вы это назвали нестандартно "потенциальной" бесконечностью.
В математике, они АБСОЛЮТНО равноправны, вы же их считаете не равноправными.
Блин, просто очень сложно разобраться в большом наборе слов описывающие стандартные понятия не стандартными терминами. Пойди разберись.

Alexey Romanov писал(а):

Pi в сообщении #203122 писал(а):

В теории типов объект данного типа не может содержать в себе никакой другой объект данного типа. Там строгая иерархия.

Неверно. Во многих вариантах теории типов 1-тип "тип всех 0-типов" является подтипом 2-типа "тип всех 1-типов", то есть любой 0-тип является и 1-типом (и 2-типом, и т.д.) Таким образом, все объекты 1-типа "тип всех 0-типов" сами -- 1-типы.

Мы описали одно и тоже. Просто вы не внимательно прочитали. А я не стал разжевывать, то что вы разжевали.

[epros]

Pi писал(а):

epros в сообщении #203197 писал(а):

Я не понял, что разное я обзываю одним словом?

Множество и множество его подмножеств.

epros в сообщении #203197 писал(а):

Не понял, каких подмножеств?

То что вы описали.

Так я всё-таки не понял, о каком множестве и его подмножествах речь? О $\mathbb{N}$ что ли? Так я вроде ничего про его подмножества не говорил.

Pi писал(а):

epros в сообщении #203197 писал(а):

И я не вижу смысла растаскивать конечные множества по разным уровням иерархии типов: Как объекты $a_1$, $a_2$ или $a_3$ существуют в предметном мире, так и их совокупность $\{a_1,a_2,a_3\}существует в том же самом предметном мире$

именно что в теории типов это разные типы. Да и в любой другой.

Да ну? А вот мы по определению положим их объектами одного уровня иерархии типов, и что же нам помешает? Вот Вам три объекта: "первое яблоко", "второе яблоко" и "третье яблоко". А вот Вам объект "пакет с тремя яблоками". Что помешает рассматривать их все как объекты одного уровня иерархии типов ("все объекты, пригодные для взвешивания на рынке")?

Pi писал(а):

epros писал(а):

Есть бесконечный тип "натуральное число".

В теории множеств нет такого типа.

Ух ты ж.... А в теории множеств вообще есть типы? Или мы теперь любые множества будем называть типами? Или что?

Pi писал(а):

Но вобще то я понял что вы и меете в виду и превиду это на нормальный язык

Я этого Вашего "нормального языка" совершенно не понимаю.

Pi писал(а):

В теории множеств существует два порядковых рода: ограниченной бесконечности и не ограниченной бесконечности.

Забавно. "Ограниченая бесконечность" это что-то вроде "конечной бесконечности"? Или Вы просто так чудно назвали непредельные ординалы?

Pi писал(а):

Блин, просто очень сложно разобраться в большом наборе слов описывающие стандартные понятия не стандартными терминами. Пойди разберись.

Да уж, "ограниченная бесконечность" конечно же "стандартнее"...

[Pi]

epros в сообщении #203437 писал(а):

Да ну? А вот мы по определению положим их объектами одного уровня иерархии типов, и что же нам помешает?

Нельзя. Доказанно. Иначе появляется парадокс "множество всех множеств". Поэтому

epros в сообщении #203437 писал(а):

Вот Вам три объекта: "первое яблоко", "второе яблоко" и "третье яблоко". А вот Вам объект "пакет с тремя яблоками". Что помешает рассматривать их все как объекты одного уровня иерархии типов

насамом деле являются множествами {"первое яблоко"}, {"второе яблоко"} и {"третье яблоко"}, {"первое яблоко", "второе яблоко","третье яблоко"}.

epros в сообщении #203437 писал(а):

Забавно. "Ограниченая бесконечность" это что-то вроде "конечной бесконечности"? Или Вы просто так чудно назвали непредельные ординалы?

Перечитайте Хаусдорфа или Александрова.
Потому что ваш язык путает всех и никто вас не понимает до конца, да и сами вы себя не понимаете. Получается словоблудие, с принципиальной не возможностью что либо объяснить кем либо вам.
Перечитайте учебники классиков теории множеств там все ооооочень понятно написанно.

[epros]

Pi писал(а):

epros в сообщении #203437 писал(а):

Да ну? А вот мы по определению положим их объектами одного уровня иерархии типов, и что же нам помешает?

Нельзя. Доказанно. Иначе появляется парадокс "множество всех множеств".

По-моему, Вы ерунду какую-то говорите. Из конечных множеств Вы никаких "множество всех множеств" никогда не получите.

Pi писал(а):

Поэтому

epros в сообщении #203437 писал(а):

Вот Вам три объекта: "первое яблоко", "второе яблоко" и "третье яблоко". А вот Вам объект "пакет с тремя яблоками". Что помешает рассматривать их все как объекты одного уровня иерархии типов

насамом деле являются множествами {"первое яблоко"}, {"второе яблоко"} и {"третье яблоко"}, {"первое яблоко", "второе яблоко","третье яблоко"}.

А по-моему они "на самом деле" будут являться тем, чем мы их определим. Если мне важно различать "первое яблоко" и {"первое яблоко"} (типа: "контейнер с первым яблоком внутри"), то я буду различать. А если упаковка яблока меня не интересует, то имею право не различать. Какие проблемы?

[Pi]

epros в сообщении #203447 писал(а):

А если упаковка яблока меня не интересует, то имею право не различать. Какие проблемы?

Ни в теории множеств, ни в теории типов не имеете. Множество всегда отличается от всего что не является множеством. Это кардинально разные объекты. Иначе это все равно что сказать "если после запятой нет цифр отличных от нуля, то это число целое; но и если есть, то все равно целое ".

epros в сообщении #203447 писал(а):

Pi писал(а):
epros в сообщении #203437 писал(а):
Да ну? А вот мы по определению положим их объектами одного уровня иерархии типов, и что же нам помешает?

Нельзя. Доказанно. Иначе появляется парадокс "множество всех множеств".

По-моему, Вы ерунду какую-то говорите. Из конечных множеств Вы никаких "множество всех множеств" никогда не получите.

Вы говорите об произвольном одном уровне иерархии типов, а не о конкретном конечном. Да и вообще, конечное множество всех подмножеств вы не можете получить.
Если вы объявляете валюнтаристки что в некотром множестве его подмножество и элемент этого множества равны, то есть оно содержит все свои подмножества, то получается бесконечная система {a,{a},{a,{a}},{{a},{a,{a}},........}}. Вот поэтому элемент и множество НИКОГДА не равны.
В теории типов это прямо запрещенно аксиомой.

Нельзя произвольный набор знаков или утверждений считать непротиворичивыми только потому что вы этого захотели. Непротиворичивость требует доказательств, у вас же сразу видна противоричивость которая была установленна еще в 19 веке.

[epros]

Pi писал(а):

epros в сообщении #203447 писал(а):

А если упаковка яблока меня не интересует, то имею право не различать. Какие проблемы?

Ни в теории множеств, ни в теории типов не имеете. Множество всегда отличается от всего что не является множеством. Это кардинально разные объекты.

Да плевать мне на теорию множеств. Я понимаю, что в ней по определению принимается, что $a$ и $\{a\}$ - это разные объекты. Но это не означает, что я не имею права рассматривать совокупность из трёх яблок на том же уровне иерархии объектов, что и каждое из яблок, ибо ни к каким противоречиям это не приводит. Кстати, в той же теории множеств объекты {} и {{}} рассматриваются как "равноправные " в том смысле, что могут быть элементами одного множества.

Pi писал(а):

Вы говорите об произвольном одном уровне иерархии типов, а не о конкретном конечном.

Я говорю о том, что ничто не мешает нам собрать все объекты любого конечного типа в совокупность, которую можно рассматривать как объект того же уровня иерархии типов, что и объекты, из которой она собрана. С бесконечным типом такой финт проделывать неконструктивно, хотя при определённых ограничениях это тоже вроде бы не приводит к формальным противоречиям (как в теории множеств).

Pi писал(а):

Да и вообще, конечное множество всех подмножеств вы не можете получить.

Вы о чём? Конечного множества всех множеств я действительно не могу получить, но я этого и не утверждал.

Pi писал(а):

Если вы объявляете валюнтаристки что в некотром множестве его подмножество и элемент этого множества равны, то есть оно содержит все свои подмножества, то получается бесконечная система {a,{a},{a,{a}},{{a},{a,{a}},........}}. Вот поэтому элемент и множество НИКОГДА не равны.

Вы о чём?
Во-первых, я ничего не говорил о "подмножествах" и о их равенстве элементам.
Во-вторых, в теории множеств такое как раз возможно. Например, для множества {{},{{}}} вот такая штука:{{}} - является и подмножестом, и элементом.

Pi писал(а):

Непротиворичивость требует доказательств, у вас же сразу видна противоричивость которая была установленна еще в 19 веке.

Мне сразу не видна. Укажите.

[Pi]

epros в сообщении #203540 писал(а):

Мне сразу не видна. Укажите.

Я указал выше, Я не могу построить за вас вашу теорию которая является ни частью теории множеств, ни частью теории типов, да и не вижу никогого смысла в этом.
Это вы должны сделать и доказать не противоричивость, если вам нужно.

epros в сообщении #203540 писал(а):

Да плевать мне на теорию множеств.

epros в сообщении #203540 писал(а):

Я говорю о том, что ничто не мешает нам собрать все объекты любого конечного типа в совокупность, которую можно рассматривать как объект того же уровня иерархии типов, что и объекты, из которой она собрана.

Ваша "теория" является ни частью теории множеств, ни частью теории типов. В этих теориях два разных конечных типа не могут быть вставленны в одну иерархию - и это построение не возможно именно потому-что если объект (скажем a) есть тип 1 и множество типов 1 имеет тот же тип 1, то значит (знак ~ показывает принадлежность одному типу) a~ {a}~{a,{a}}~............. бесконечно, и содержит бесконечные множества. А это противоречит тому что множество этого типа конечно.
Совокупность мы можем брать чего угодно, но класс эквивалентности не есть произвольное понятие.

Все я иссяк, если и это не понятно то я умываю руки. Я наверно очень криво объясняю и вы плохо понимаете, но я не учебник, значит нам не данно понять друг друга. Лучше читайте классиков, они все есть в инете, там все понятно.

[epros]

Pi писал(а):

... и доказать не противоричивость, если вам нужно.

С какой это стати? Это если у Вас есть доказательство противоречивости, то мне, наверное, следует продемонстрировать его ошибочность. Но я его пока не вижу. Большинство теорий получили применение без всяких "доказательств непротиворечивости". От некоторых из них отказались только после доказательства их противоречивости. А для многих других никакого доказательства непротиворечивости не существует и это не мешает ими пользоваться.

Pi писал(а):

В этих теориях два разных конечных типа не могут быть вставленны в одну иерархию

{{},{{}}}

Pi писал(а):

если объект (скажем a) есть тип 1 и множество типов 1 имеет тот же тип 1, то значит (знак ~ показывает принадлежность одному типу) a~ {a}~{a,{a}}~............. бесконечно, и содержит бесконечные множества.

Я не понимаю этого вывода.

Pi писал(а):

А это противоречит тому что множество этого типа конечно.

Какого типа? Я говорил про то, что все объекты конечного типа можно интерпретировать как объект (того же уровня иерархии). Но это не значит, что этот объект относится к этому типу. Список из трёх минимальных натуральных чисел не есть одно из трёх минимальных натуральных чисел.

Уровень иерархии - это одно, а принадлежность типу - другое. Например, натуральные числа можно считать объектами одного уровня иерархии, но это не значит, что единственный тип, к которому относится каждое число, это только "натуральные числа". Можно рассмотреть тип "натуральные числа не большие трёх". Это конечный тип, и некоторые натуральные числа к нему относятся, а другие - нет.

Pi писал(а):

Совокупность мы можем брать чего угодно, но класс эквивалентности не есть произвольное понятие.

Это Вы про уровень иерархии сейчас говорите?

Я плохо понимаю о чём Вы говорите, но я, кажется, вполне чётко указал различия между совокупностью объектов и типом объектов (как я их понимаю). На самом деле, это различие должно быть очевидно уже из того, что есть два РАЗНЫХ способа определения понятий:
- путём перечисления всех относящихся к понятию объектов (столовые приборы - это ложки, вилки и ножи)
- и путём указания характерного свойства (млекопитающие - это животные, выкармливающие потомство молоком).

Не факт, что эти два способа всегда смогут приводить к одинаковому результату, т.е. что если нечто определено первым способом, то существует эквивалентное определение вторым способом и наоборот. Поэтому я Вам говорю, что первый способ определяет "совокупность", а второй - "тип" и это, вообще говоря, разные вещи. Иерархические уровни имеет смысл различать для типов, но для совокупностей это не имеет никакого смысла. Знаете почему? Потому что если математические объекты - всегда строки, то совокупности математических объектов тоже можно записать строками, причём такими, которые в буквальном смысле содержат в себе исходные объекты. Тип - это совсем другое дело. Он определяется свойством, т.е. неким алгоритмом, проверяющим принадлежность объекта к типу. Это уже совсем другой уровень логики, потому что чтобы выполнить алгоритм, недостаточно иметь его код, а нужно ещё иметь интерпретатор этого кода.

[Nxx]

Дима Тишков в сообщении #201833 писал(а):

Nxx в сообщении #201825 писал(а):

Понимаете ли, в природе нет бесконечных объектов, бесконечных множеств...

Когда Вы нажимаете клавишу на клавиатуре, каково множество различных положений этой клавиши относительно клавиатуры в течение этого процесса?

Если вы о траектории клавиши, то согласно квантовой механике, траектории не существует.
Положение клавиши можно описать энергетическим состоянием квантовой системы по отношению к различным полям, а множество энергетических состояний конечно. Система скачкообразно переходит из одних состояний в другие. Для электрона в атоме количество этих состояний можно посчитать, а для пружины, которая удерживает эту клавишу, таких состояний гораздо больше, но все равно, конечно.

[arseniiv]

Разве, Pi, вы не знаете построения натуральных чисел из множеств? Там как раз различные множества спокойно содержат другие

$$ 0 = \{ \emptyset \} $$

$$ 1 = 0 \cup \{ 0\} = \{ \emptyset ,\{ \emptyset \} \} $$

$$ 2 = 1 \cup \{ 1\} = \{ \emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} \} \} $$

$$ (\forall n \in {\Bbb N})\operatorname{P} (n) = n \cup \{ n\} $$

[AGu]

arseniiv в сообщении #220090 писал(а):

$$ 0 = \{ \emptyset \} $$

$$ 1 = 0 \cup \{ 0\} = \{ \emptyset ,\{ \emptyset \} \} $$

$$ 2 = 1 \cup \{ 1\} = \{ \emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} \} \} $$

$$ (\forall n \in {\Bbb N})\operatorname{P} (n) = n \cup \{ n\} $$

Дела вкуса, но известное мне традиционное определение отличается от приведенного сдвигом на единичку: $0=\varnothing$, $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}$ и т.д.
Думаю, эта традиция обусловлена положительными эмоциями, вызываемыми наблюдением того факта, что множество 0 состоит из нуля элементов, 1 -- из одного, 2 -- из двух и т.д.

[INT]

Xaositect в сообщении #201210 писал(а):

Да.
Континуум-гипотеза, например.

Вы говорите это по своей вере в Гёделя. Ваше утверждение ложно.

-- Пн июн 08, 2009 20:32:58 --

Someone в сообщении #201763 писал(а):

Nxx в сообщении #201465 писал(а):

А никак. Давно уже пора в математике отказываться от всех построений, не имеющих к реальности никакого отношения.

А как определить, какие построения "имеют отношение к реальности", а какие - "не имеют отношения к реальности"? Особенно если они все взаимосвязаны. Да и математика ведь вообще с реальными объектами дела не имеет, только с логическими конструкциями.

А дело в том, что заранее заготовленных критериев реальных объектов нет. Иначе всё было бы слишком просто: Откуда тогда взялись критерии? Но есть интуиция. И искусство математика и состоит найти истину, которая и есть реальность без опоры на что-либо. Найти по существу. Интуиция собственно - это и есть пособ усматривания реальности, вопреки демагогичной болтовне Гёделя и других. Это же касается и логических конструкций, т.е. конструкций мысли. Из "теоремы Гёделя" следует только то, что студенты вводятся умышленно в заблуждение.