несколько вопросов по мат.ан. (терминологич)

[ДДмитрий]

ДДмитрий писал(а):

Я же отстаиваю ту точку зрения, что $(-1)^{2/2}$ неопределено вообще.

Написал глупость. Правильно, будет так: выражение $(-1)^{2/2}$, в отличии от $(-1)^{1/2}$ или от $(-1)^{1/3}$, таки определено. При этом, действительно, $(-1)^{2/2} = (-1)^1 = - 1$. Но равенство $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, где $m\in \mathbb Z, n\in \mathbb N, n>1$, будет верным для $a>0$. Поэтому $(-1)^{2/2} \ne \sqrt{(-1)^2}$

[Лиля]

ASA в сообщении #201791 писал(а):

С одной стороны $\lim_{n\rightarrow\infty}\limits0^\frac{1}{n}=0$, а с другой $0^0$. Хорошо ли это?

для любого числа $w \geq 0, w\in R$ можно найти функции $f,g$ такие что $f(a)=g(a)=0$ и

$$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=w$$

таким образом из пределов следуемые аргументы не пригодны для вычисления $0^{0}$

ДДмитрий в сообщении #201800 писал(а):

Написал глупость. Правильно, будет так: выражение $(-1)^{2/2}$, в отличии от $(-1)^{1/2}$ или от $(-1)^{1/3}$, таки определено. При этом, действительно, $(-1)^{2/2} = (-1)^1 = - 1$. Но равенство $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, где $m\in \mathbb Z, n\in \mathbb N, n>1$, будет верным для $a>0$. Поэтому $(-1)^{2/2} \ne \sqrt{(-1)^2}$

определитесь пожалуйста о каком множестве идет реч? $R$ или $C$ а то кажеться каждый говорит о своем

[ДДмитрий]

Лиля писал(а):

определитесь пожалуйста о каком множестве идет реч? $R$ или $C$ а то кажеться каждый говорит о своем

Естественно речь идет о $\mathbb R$ и школьных определениях степени. По моему, никто ни разу не говорил о $\mathbb C$.

[Лиля]

ДДмитрий в сообщении #201812 писал(а):

Естественно речь идет о $\mathbb R$ и школьных определениях степени.

по первой здачке - в корнях с нечетными степенями знак минуса можно выносить за знак корня

[Nurgali]

Последние два вопроса возникли, когда исследовал функцию $y=\frac{x^3}{2(x+1)^2}$.
Нахожу производную $y'=\frac{x^2 (x+3)}{2(x+1)^3}$.
Вот здесь как правильно записать:
функция возрастает
1) на интервалах $(-\infty,-3)$, $(-1,0)$, $(0,+\infty)$;
2) на интервалах $(-\infty,-3)$, $(-1,+\infty)$;
3) в области $(-\infty,-3)\cup (-1,0)\cup (0,+\infty)$;
3) в области $(-\infty,-3)\cup (-1,+\infty)$?

И потом, не до конца понял, если я решу
$\int\limits_{-1}^{2}\sqrt[3]{x}dx=\int\limits_{-1}^{2}x^{\frac{1}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}|\limits_{-1}^2=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}|\limits_{-1}^2=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}|\limits_{-1}^2=\frac{3}{4}(2^{\frac{4}{3}}-(-1)^{\frac{4}{3}})$
будет ли это правильное решение?

[ewert]

1) Правильна -- вторая версия.
2) Будет.

[gris]

Вы хотите разобраться, когда нужно писать "функция возрастает на интервалах", а когда можно написать "возрастает на объединении интервалов".

Предположим на интервале $[0;3]$ функция возрастает от -3 до 4, а на интервале $[5;7]$ возрастает от 6 до 8. Тогда мы можем написать, что она возрастает в области $[0;3]\cup[5;7]$

Но если на интервале $[0;3]$ функция возрастает от -3 до 4, а на интервале $[5;7]$ возрастает от 2 до 8, то мы должны написать, что она возрастает на интервалах $[0;3],\,[5;7]$. Объединять их в одну область нельзя.

Можно наглядно представить так: мысленно склеить интервалы возрастания. Если на стыках функция проваливается вниз, то объединять нельзя.

Особо внимательным надо быть с точками, где производная обращается в ноль.

Например, на вопрос указать интервалы строгой монотонности для $x^3$ даны три варианта ответа:
1) $(-\infty;0),(0;\infty)$
2) $(-\infty;0)\cup (0;\infty)$
3) $(-\infty;\infty)$

первых два будут правильные, но неполные. А последний - то, что нужно ответить. Но многие ошибаются, из-за того, что производная в нуле равна нулю. Думают, что монотонность будет нестрогая.

А вот для вопроса
указать интервалы строгого убывания для

$$\frac1x$$

даны три варианта ответа:
1) $(-\infty;0),(0;\infty)$
2) $(-\infty;0)\cup (0;\infty)$
3) $(-\infty;\infty)$

Тут верен только вариант 1

[Nurgali]

gris писал(а):

Вы хотите разобраться, когда нужно писать "функция возрастает на интервалах", а когда можно написать "возрастает на объединении интервалов".

Да, совершенно верно...

Как я понял, если не знаю как меняется значения функции в каждом интервале, то лучше интервалы не объединять!

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

gris

В случае исследования выпуклости графика функции, если интервалы одинаковой выпуклости объединять, это же не будет ошибкой?

[gris]

Если интервалы не объединять, то это не будет ошибкой.

Вот определение: функция $f(x)$ возрастает на множестве $M\in R$, если $\forall x_1, x_2 \in M: x_1<x_2 \Longrightarrow f(x_1)\leqslant f(x_2)$
То есть функция может возрастать и на несвязном множестве. Например, на объединении интервалов. Или на рациональных числах.

С выпуклостью сложнее. Можно определить выпуклость на множестве. Через хорды и значения в промежуточных точках.
Но с проверкой выпуклости на объединении двух интервалов дело обстоит не так просто, как с монотонностью.
Вообще я бы посоветовал Вам посмотреть всё это графически. В тестах могут быть очень хитрые варианты.

[Nurgali]

gris
А если выпуклость определить через касательную?

[gris]

Да как ни определяйте, просто не получится. Для выпуклости вверх надо, чтобы график и первой и второй части лежал ниже любой касательной. Можно на примерах показать, что анализа только второй производной будет недостаточно. Ну разве что оба отрезка входят в одну облась выпуклости, но это не интересно.

Для объединения двух непересекающихся отрезков в одну область по признаку возрастания функции достаточно, чтобы функция на конце первого была не больше, чем на начале второго (односторонние пределы в случае интервалов).

А для объединения по признаку выпуклости... Тут нужны условия и на значения функции и на значения производных. В общем, это не школьная задача.

[Nurgali]

gris

спасибо... вроде в этом разобрался...

но вот на счет функции $y=\frac{x^3}{2(x+2)^2}$... уже в двух книжках прочитал, что данная функция возрастает на интервалах $(-\infty,-3)$, $(-1,0)$ и $(0,+\infty)$. Почему не написать просто на интервалах $(-\infty,-3)$, $(-1,+\infty)$?

[ewert]

Если в тех книжках написано, что ноль не есть точка монотонности -- то те книжки следует выкинуть нафик. Ибо сколь бы они ни были изысканны, но отчёта в своих действиях они себе не отдают.

[Nurgali]

всем спасибо )))