несколько вопросов по мат.ан. (терминологич)

[Nurgali]

1) верно ли равенство $\int\limits_{-1}^{2}\sqrt[3]{x}dx=\int\limits_{-1}^{2}x^{\frac{1}{3}}dx$, т.е. равенство $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ на отрезке $[-1,2]$?

2) если функция, например, возрастает на интервалах $(a,b)$ и $(c,d)$ $(b<c)$, то правильно ли запись, что она возрастает в области $(a,b)\cup (c,d)$?

3) если функция например, возрастает на интервалах $(a,x_0)$ и $(x_0,b)$ и $f'(x_0)=0$, то правильно ли запись, что она возрастает на интервале$(a,b)$?

[Droog_Andrey]

да; нет; да.

[Nurgali]

Droog_Andrey писал(а):

да; нет; да.

т.е. во втором случае надо интервалы записать отдельно?!

[ДДмитрий]

На первый вопрос правильный ответ тоже "нет", хотя от Вас, возможно, хотят услышать "да". Дело в том, что отрицательные числа в дробной степени обычно не определяют, иначе, например, будет $-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = 1$.

[Лиля]

2й вопрос можно так записывать -запись корректна
1й тож да

[Nurgali]

ДДмитрий писал(а):

На первый вопрос правильный ответ тоже "нет", хотя от Вас, возможно, хотят услышать "да". Дело в том, что отрицательные числа в дробной степени обычно не определяют, иначе, например, будет $-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = 1$.

я тоже так думал... тогда интегралом как быть?

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

Лиля писал(а):

2й вопрос можно так записывать -запись корректна
1й тож да

тогда получается при доказательстве возрастания функции точку $x_1$ могу взять из первого интервала, а $x_2$ из второго...

[Лиля]

ДДмитрий в сообщении #201754 писал(а):

отрицательные числа в дробной степени обычно не определяют, иначе, например, будет $-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = 1$.

не мож быть такого вас послушать так $-1=(-1)^{1}=(-1)^{2/2}=1$ ? так?

Добавлено спустя 8 минут:

Nurgali в сообщении #201756 писал(а):

точку $x_1$ могу взять из первого интервала, а $x_2$ из второго...

вы правы.. 2й вопрос тогда нет:)

[ewert]

ДДмитрий писал(а):

На первый вопрос правильный ответ тоже "нет", хотя от Вас, возможно, хотят услышать "да". Дело в том, что отрицательные числа в дробной степени обычно не определяют, иначе, например, будет $-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = 1$.

Фактически всё в точности наоборот: раз уж вопрос поставлен таким образом, то ожидается, безусловно, ответ "нет". Хотя правильный вопрос -- безусловно, "да".

[ДДмитрий]

Лиля писал(а):

ДДмитрий в сообщении #201754 писал(а):

отрицательные числа в дробной степени обычно не определяют, иначе, например, будет $-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = 1$.

не мож быть такого вас послушать так $-1=(-1)^{1}=(-1)^{2/2}=1$ ? так?

Это как раз по Вашему будет так. Я же отстаиваю ту точку зрения, что $(-1)^{2/2}$ неопределено вообще.

ewert писал(а):

Фактически всё в точности наоборот: раз уж вопрос поставлен таким образом, то ожидается, безусловно, ответ "нет". Хотя правильный вопрос -- безусловно, "да".

В части намека в вопросе Вы, наверное, правы, но неужели Вы считаете, что реально имеет смысл определять отрицательные числа в дробной степени? На любом вступительном экзамене (которых, правда, сейчас практически нет) за такой ответ Вас бы раскритиковали в пух и прах.

[ASA]

Nurgali писал(а):

1) верно ли равенство $\int\limits_{-1}^{2}\sqrt[3]{x}dx=\int\limits_{-1}^{2}x^{\frac{1}{3}}dx$, т.е. равенство $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ на отрезке $[-1,2]$?

И все-таки область определения функции $f(x)=x^q$ для не целых $q$ есть $(0,+\infty)$. Уравнение $(x^\frac{1}{3})^2=1$ имеет только один корень $x=1$. А вот $x=-1$, как пишут в школе, - это посторонний корень. Хотя, понимаю, что вопрос понятийно-методический.

[Nurgali]

ДДмитрий писал(а):

В части намека в вопросе Вы, наверное, правы, но неужели Вы считаете, что реально имеет смысл определять отрицательные числа в дробной степени? На любом вступительном экзамене (которых, правда, сейчас практически нет) за такой ответ Вас бы раскритиковали в пух и прах.

В одной из книжек по подготовке к ЕГЭ имеется пример, где правильным ответом области определения функции $y=x^{\frac{1}{3}}$ считается промежуток $[0,+\infty)$

[Лиля]

ДДмитрий в сообщении #201777 писал(а):

На любом вступительном экзамене (которых, правда, сейчас практически нет) за такой ответ Вас бы раскритиковали в пух и прах.

да уж

[ASA]

Nurgali писал(а):

В одной из книжек по подготовке к ЕГЭ имеется пример, где правильным ответом области определения функции $y=x^{\frac{1}{3}}$ считается промежуток $[0,+\infty)$

Я бы 0 исключил.

[Лиля]

ASA в сообщении #201783 писал(а):

Я бы 0 исключил.

спасиб -долго смеялась -кстати 1е Апреля уже прошло

[ASA]

Лиля писал(а):

ASA в сообщении #201783 писал(а):

Я бы 0 исключил.

спасиб -долго смеялась -кстати 1е Апреля уже прошло

С одной стороны $\lim_{n\rightarrow\infty}\limits0^\frac{1}{n}=0$, а с другой $0^0$. Хорошо ли это?