степенное уравнение (спец. функции)

[lenok.marshal]

После таких определений Зорич пишет.

"Функции

$$(2+\sin x)x$$

и

$$x$$

одного порядка при

$$x\to\infty$$

, но

$$(1+\sin x)x$$

и

$$x$$

не являются функциями одного порядка при

$$x\to \infty$$

.

Когда дочитаю параграф, буду разбирать решение предыдущей задачи.

[ewert]

Имеется в виду, что $(1+\sin x)x=O(x)$, но $x\neq O\big((1+\sin x)x\big)$. Т.е. не существует константы $C$ такой, чтобы было выполнено $|x|\leqslant C\,\big|(1+\sin x)x\big|$ для всех достаточно больших $|x|$.

[lenok.marshal]

Идея понятна.

В обозначениях Зорича допустим

$$f=O(g)$$

, где

$$f=x, g=(1+\sin x)x$$

. Напишем

$$x=\frac{1}{(1+\sin x)}(1+\sin x)x$$

, где

$$\beta (x)=\frac{1}{(1+\sin x)}$$

, тогда должно быть

$$|\beta (x)|=\frac{1}{|1+\sin x|}<c$$

для всех

$$x\to\infty$$

, но это заведомо неверно, потому что существуют точки, в которых

$$(1+\sin x)$$

зануляется и соответственно

$$1/|1+\sin x|$$

никакой константой не ограничишь.

Математика интересная штуковина. Читаю дальше.

[ewert]

Зорич -- пижон. Зачем ему, спрашивается, понадобилась эта несчастная бета, от которой заведомо "нет ни пользы, ни красоты" $\copyright$ ... ?

[lenok.marshal]

Я в этом ни бэ ни мэ ни бэта, пытаюсь нахвататься каких-то знаний как собака блох.

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

ewert писал(а):

чтобы было выполнено $|x|\leqslant C\,\big|(1+\sin x)x\big|$

Это неравенство мне тяжело понять, потому я и придумала другое доказательство с этим калечным бэта

$$|\beta (x)|=\frac{1}{|1+\sin x|}<c$$

- оно понятное даже школьнику.

Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:

ewert дошло и Ваше неравенство. все то же самое. я просто и не думала толком

[lenok.marshal]

Cкажите, почему с точки зрения "формальных" операций с символами о-малое, О-большое,

$$-O(x^2)=O(x^2), x\to 0$$

?

$$-1\cdot O(x^2)=O(1)O(x^2)=O(x^2), x\to 0$$

. Cорри за такой тупой вопрос

[ewert]

да, воистину тупой. Запись $f=O(g)$ подразумевает оценку $|f| \leqslant C\cdot g$ с некоторой константой, и -- ничего более. Никаких знаков той константы мало того что не подразумевается, хуже того --откровенно подразумевается (в рамках этого утв.), что эти знаки попросту не интересны, ибо не об этом речь.

[lenok.marshal]

И на том спасибо. Нафиг тогда все эти операции с о-малыми и большими?

Добавлено спустя 9 минут 35 секунд:

Не, ну вопросы например с таким выражением с формальной точки зрения при

$$x\to\infty$$

$$\Big(1+\frac{1}{x^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{x^3}+O\Big(\frac{1}{x^6}\Big)\Big)=1+\frac{1}{x^2}+O\Big(\frac{1}{x^3}\Big)$$

, почему

$$O\Big(\frac{1}{x^3}\Big)$$

, а не малое, ведь

$$1/x^3$$

б.м. при

$$x\to\infty$$

.

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

понимаю вам очевидно, когда видишь первый раз и хочешь типа формально это не так

[ewert]

Очень даже нафик. Это -- формальное оформление (пардон за тавтологию) того банального факта, что некая величина оценивается через некую другую. Подобное -- очень часто случается, и -- очень полезно.

[lenok.marshal]

Пасибо за неустанное просвещение