2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 степенное уравнение (спец. функции)
Сообщение01.04.2009, 14:24 
$$x=y\ln y$$ или $$y^y=e^x$$ :oops:

как найти у=f(x) в явном виде? надоумьте. только оценки?

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 14:44 
Уравнение не простейшее.
В явном виде выразить нельзя. Можно выразить через W-функцию Ламберта:
$$y=e^{W(x)}$$

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 16:13 
Gordmit писал(а):
$$y=e^{W(x)}$$


Cпасибо за ссылку. Ничего подобного не слышала и не видела... Эта формула получается почти по определению этой функции.

Я имела ввиду приблизительную асимптотику/решение y(x) на основе каких-то эвристических соображений типа ряда Тейлора/пределов, когда х к чему-то стремится... Нарисовала в программе график, ну хотя бы когда $x\to \infty$. Функция возрастает и похоже, что медленно, но как?

В ссылке "The Lambert W-function has the series expansion ..." Разложение где, вокруг какой точки? Не понятно, можно ли его взять несколько первых членов, в которые возвести экспоненту.

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 16:24 
Аватара пользователя
Там где "The Lambert W-function has the series expansion..." - разложение в окрестности нуля. Там дальше "An asymptotic formula which yields reasonably accurate results for z>~3 is..." - асимптотика на бесконечности.

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 16:42 
Хорошо, согласно "An asymptotic formula which yields reasonably accurate results for z>~3 is..." при $$x\to \infty$$ $$y=e^{W(x)} \approx e^{\ln x-\ln\ln x}=e^{\ln (x/\ln x)}=\frac{x}{\ln x}$$. Как получить первых два слагаемых такого разложения?

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 18:26 
Нужно взять побольше членов разложения, указанного там по ссылке:
$$y=e^{W(x)}=e^{\ln x-\ln\ln x+\frac{\ln\ln x}{\ln x} + O(\frac{\ln^2\ln x}{\ln^2 x})}=$$
$$=\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{\ln\ln x}{\ln x}+O\biggl(\frac{\ln^2\ln x}{\ln^2 x}\biggr)\right)\left(1+O\biggl(\frac{\ln^2\ln x}{\ln^2 x}\biggr)\right)=\frac{x}{\ln x}+\frac{x\ln\ln x}{\ln^2 x}+O\biggl(\frac{x\ln^2\ln x}{\ln^3 x}\biggr)$$

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 23:11 
Gordmit

Спасибо и простите, я не это имела ввиду. Вопрос был совсем глупый: как из уравнения $$x=y \ln y$$, показать что при $x\to\infty$ $y = x/\ln x + O(..)$ без использования $W(x)$:oops:

$$y=x/ \ln y$$, почему чтобы получить первое слагаемое должно быть $$\ln y ~ \ln x$$ не дойдет.

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 23:27 
Аватара пользователя
lenok.marshal в сообщении #201035 писал(а):
как из уравнения $$x=y \ln y$$, показать что при $x\to\infty$ $y = x/\ln x + O(..)$

Ясно, что $y\to\infty$, причём $y=o(x)$, поэтому $\log x=\log y+\log\log y=\log y+O(\log\log x)$, откуда $y=\frac x{\log y}=\frac x{\log x+O(\log\log x)}=\ldots$

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 23:31 
$x = y\ln y$ по определению. Значит, $y < x$, поэтому $y = O(x)$.
$y = \frac x {\ln y}$, откуда $\ln y = \ln x - \ln\ln y = \ln x + O(\ln\ln x)$. Подставляем обратно в выражение для $y$, получаем $y = \frac x {\ln x + O(\ln\ln x)} = \frac x {\ln x} \cdot \frac 1 {1 + O(\frac {\ln\ln x} {\ln x})}$. Вторую дробь раскрываем как сумму бесконечной геометрической прогрессии, останавливаясь на любом шаге.
--
И вновь RIP раньше отвечает. Не унываем :)

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 23:33 
Аватара пользователя
Очевидно, $y(x)$ непрерывна и неограниченно возрастает, так как $y\ln y$ непрерывна неограниченно возрастает.
Далее, $y = o(x)$, так как $y = \frac{x}{\ln y}$, а $\ln y$ неограниченно возрастает.
Уточняя дальше, $y = \frac {x} {\ln y} = \frac {x} {\ln x - \ln \ln y} = \frac{x}{\ln x(1-o(1))} = \frac {x} {\ln x}(1+o(1))$

Добавлено спустя 42 секунды:

Обогнали :)

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 22:49 
Спасибо всем, написали кто $$o$$, кто $$O$$ - стала смотреть о сравнении функций и куча вопросов.

Пример:
$$(2+\sin x) x =O(x)$$ при $$x\to\infty$$, потому что $$(2+\sin x)$$ ограничена при $$x\to\infty$$. В книге Зорич дан другой пример, сказано, что $$(1+\sin x) x$$ и $x$ не одного порядка при $$x\to\infty$$, почему? Единственная разница, что во втором случае $$1+\sin x$$ может принимать 0, но она же ограничена при $$x\to\infty$$.

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:06 
Аватара пользователя
А в Зориче "одного порядка" это не $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0$?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:18 
Xaositect писал(а):
А в Зориче "одного порядка" это не $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = c > 0$?

Надеюсь, что нет (кстати, причём тут положительность?) -- это было бы совсем уж неприлично. Судя по контексту, в Зориче "одного порядка" означает, что $f(x)=O(g(x))$ и одновременно $g(x)=O(f(x))$. Но и в этом случае он, надо сказать, откровенно нарывается. Поскольку прочтение "$f$ есть величина порядка $g$" устойчиво закреплено за односторонним обозначением $f(x)=O(g(x))$.

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:24 
Меня тоже это смутило. Просмотрела определения:

1. Функции $$f$$ и $$g$$ одного порядка при базе $$B$$, если $$f=O(g)$$ и $$g=O(f)$$ при базе $$B$$.
2. $$f=O(g)$$ при базе $$B$$ означает, что финально при базе $$B$$ выполнено соотношение $$f(x)=\beta(x)g(x)$$, где $$\beta(x)$$ - финально ограниченная при базе $$B$$ функция.
3. Функция $$f: X\to R$$ называется ограниченной или финально ограниченной при базе $$B$$, если существует число $$c\in R$$ и такой элемент базы, в любой точке которого $$|f(x)|<c$$.

Помогите разобраться, плиз.

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:32 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #202029 писал(а):
кстати, причём тут положительность?

Исправил.
ewert в сообщении #202029 писал(а):
Поскольку прочтение "$f$ есть величина порядка $g$" устойчиво закреплено за односторонним обозначением $f(x)=O(g(x))$.

Вот не скажите, с этим разнобой в литературе.
Бывает, как у Зорича, $c_1|g(x)|\leq |f(x)|\leq c_2 |g(x)|$
Бывает требуют существование предела отношения(это еще обозначают $O^{*}$)

Добавлено спустя 5 минут 36 секунд:

lenok.marshal в сообщении #202031 писал(а):
Помогите разобраться, плиз.

$f(x) = O(g(x))$ на бесконечности - значит, что $|f(x)|\leq c|g(x)|$ при достаточно больших $x$, т.е. $f(x) = \beta(x)g(x)$ и $|\beta(x)|\leq c$, опять же, при достаточно больших $x$.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group